两类非局部椭圆型方程解的存在性与解的性质研究

This project studies the existence of sign-changing solutions to nonlocal Kirchhoff equations, the existence and properties of mass constrained solutions to Kirchhoff equations and Schrodinger-Poisson system, like uniqueness, concentration phenomenon of the mass constrained solutions. We will study the existence and properties of sign-changing solutions to subcritical and critical Kirchhoff equations without assuming 4-superlinear nonlinearities at infinity; the existence and uniqueness, concentration behavior of solutions restricted to the mass constraint for the Kirchhoff equations with potential functions; the existence of solutions restricted to the mass constraint for the Schrodinger-Poisson system with potential funtions.

本项目拟研究非局部椭圆型方程Kirchhoff型方程变号解的存在性及解的性质、Kirchhoff方程和Schrodinger-Poisson方程组在质量约束流形上的解的存在性及解的性质，例如唯一性、集中性等。重点研究当非线性项在无穷远处不一定满足超4次线性增长条件时，Kirchhoff方程次临界情形和临界情形变号解的存在性及其性质；带位势项的Kirchhoff方程在质量约束流形上的解的存在性、唯一性和解的集中行为；带位势项的Schrodinger-poisson方程组在质量约束流形上的解的存在性。

随着物理、化学和生物科学的快速发展，产生了大量的二阶非线性椭圆型方程及方程组, 例如Schrodinger方程、Kirchhoff方程、Choquard方程、Schrodinger-Poisson方程组、耦合的Schrodinger方程组等。研究这些方程和方程组非平凡解的存在性，无论在理论探索还是在实际应用中都具有十分重大的意义，这也成为了数学研究的一个重要领域。在众多研究方法中，约束极小方法是其中一种经典方法。这种方法的基本思想是通过构造适当的约束流形，在该约束流形上找到泛函的极小达到函数，从而得到方程或方程组的解。约束流形的构造有许多种方法，其中一种是给定了质量（即 L^2-范数）的约束流形，这种约束流形上的解被称为Normalized解，这是物理学家们非常感兴趣的一种解。但对于非局部方程如Kirchhoff方程、Choquard方程，这类解的研究结果并不多。本项目主要研究非局部方程Normalized解的存在性及解的唯一性、集中现象；用约束极小方法研究方程组，约束流形的构造可要求方程组中每个方程都满足Neharil流形条件，在该流形上找到的约束极小恰好是方程组的极小能量解，但困难在于如何排除半平凡解的干扰。本项目还研究带临界指标项的耦合的Schrodinger方程组极小能量解的存在性。..本项目证明了Kirchhoff方程Normalized解的唯一性并给出了解的具体形式；这同时证明了Kirchhoff方程极小能量正解的唯一性，对于Kirchhoff方程这是一个非常好的工作。本项目得到了带质量临界指标非线性项的Kirchhoff方程Normalized解的集中性质和带位势项的Kirchhoff方程Normalized解的存在性和解的集中现象。本项目得到了带位势项的Choquard方程Normalized解的存在性，特别是当位势项具有有限个全局极小值点时，本项目讨论了Normalized解的集中行为。本项目证明了带质量临界指标非线性项的Schrodinger-Poisson方程组Normalized解存在性和集中现象，并得到了Schrodinger-Poisson方程组Normalized解与Schrodinger方程极小能量解的关系，这个工作是全新的。利用约束流形，本项目得到了几类带双临界指标项的耦合Schrodinger方程组极小能量解的存在性。