算子代数的Lie结构及高斯态的纠缠、EPR操控研究

The purpose of the project is to study the general preserver problems concerning Lie structure of operator algebras and the applications to quantum information science. The project is mainly devoted to characterizing Lie multiplicative isomorphisms and the structure of general maps on operators leaving the numerical range, the numerical radius, the spectrum, the pseudo spectrum or spectral radius invariant of Lie product of operators on operator algebras, such as the von Neumann algebras and the nest algebras on Banach spaces. This will help us to obtain some Lie structural properties of operator algebras from new aspects. Then the theory and the approaches of operator theory, operator algebras and general preserver problems will be used to study some topics in quantum information science such as characterizing the entanglement of Gaussian states in continuous multipartite systems and EPR steering criterion of quantum states.

本项目属于算子理论、算子代数与量子信息理论交叉课题。主要研究与算子代数Lie结构相关的一般保持问题，包括任意von Neumann代数、Banach空间套代数等算子代数上Lie可乘同构的刻画，以Lie乘积的数值域、数值半径、谱、拟谱、谱半径等作为不变量的一般映射的结构性质，从新的角度获得对于算子代数Lie结构的新认识；同时把算子理论、算子代数以及一般保持问题研究的理论和方法应用于量子信息论，探讨连续变量系统中高斯态的纠缠刻画问题，寻求新的适宜于两体和多体连续系统的一些易于操作的纠缠判据，并探求新的量子态EPR操控性判据等。

本项目属于算子理论、算子代数与量子信息科学交叉课题，主要研究内容和成果如下：(1)算子代数的Lie结构研究。获得有界算子上保持斜Lie乘积数值半径满射的完全刻画；得到自伴算子上保持Lie乘积k-数值域满射的具体形式；系统探讨了保持k-交换性映射、强保持k-交换性映射以及完全保持k-交换性映射的刻画问题；获得标准算子代数上保持标量算子幂零扰动的可加映射以及保持标量算子r-阶幂零扰动的可加映射的刻画并应用于获得保持k-交换性映射的刻画；给出对合素环上斜k-交换可加映射的完全刻画；得到了J-子空间格代数、von Neumann代数上Lie n-导子的完全刻画。(2)算子代数的Jordan结构研究。得到自伴算子上保持Jordan乘积k-数值域满射的具体形式；首次引入k-Jordan乘积的概念，并在此基础上系统研究了算子代数上强保持k-Jordan乘积映射的刻画问题；获得了标准算子代数上保持k-Jordan零积可加满射的刻画与分类；得到了von Neumann代数等重要算子代数上Jordan n-导子的结构特征。上述两部分成果从新的角度获得了对算子代数Lie结构、Jordan结构的新认识。(3)应用算子理论方法与技巧研究量子信息中高斯态的纠缠、量子关联等相关问题。利用量子关联得到了识别连续变量系统中高斯态纠缠的新判据；用高斯正算子测量、高斯酉操作、保真度等，给出连续变量系统量子关联的几种数量化方法并系统讨论了它们的性质；通过sub-保真度、super-保真度与保真度之间的关系，得到了由保真度诱导的高斯态量子相干度量对单模与双模高斯态的计算公式和上下界；通过相干性的相对熵度量，定义了极大相干高斯态，在此基础上提出了连续变量系统中高斯酉运算的(广义)相干能力与(广义)退相干能力，并讨论了它们的性质；给出了构造有限维系统相干度量的一般方法。该部分成果为获得纠缠判据提供了新路径，同时丰富了量子信息中高斯态量子关联与量子相干度量的理论。