球面上各向异性高斯随机场的样本轨道性质

Anisotropic Gaussian random fields on the sphere arise in probability theory and in various applications. Typical examples are Levy spherical Brownian motion, spherical fractional Brownian motion and the solution to the stochastic heat equation on a circle.. This project is concerned with sample path properties of anisotropic Gaussian random fields on the sphere, especially a class of parametric spherical models that is obtained by deformation to isotropic random fields. We will characterize its anisotropy in terms of its explicit spectral representation.. Under some general conditions, we will investigate the ranges and the level sets of the anisotropic Gaussian random fields on the sphere, and establish their Hausdorff dimesions and exact Hausdorff measure. A key tool in this project is the strong local nondeterminism, and a sufficient condition for it will be provided.

球面上的各向异性高斯随机场产生于概率理论和广泛的实际应用中。典型的例子是Levy1965年引入的球面布朗运动，Istas2005年引入的球面分形布朗运动和单位圆周上随机热方程的解。. 本项目研究球面上各向异性高斯场的样本轨道性质，特别地，我们将关注一类通过将各向同性随机场变换得到的新的含参数球面随机场。我们将通过导出其具体的谱表示来刻画其各向异性性质。. 在某些一般条件下，我们将探讨这类球面上各向异性高斯随机场的值域和水平集等，并找到其分型维数和分形测度。本项目的一个最重要的研究工具是强局部不确定性，我们将提供一个满足它的充分条件。

本项目研究了球面上几类各向同性和各向异性高斯场的样本轨道性质，特别地，我们证明了在某些一般条件下，球面上各向同性高斯随机场的强局部不确定性,并由此给出了样本轨道的精确连续模，水平集的存在条件和分型侧度等结果。同时，对于各向异性的一类特殊情形-球面上的分型布朗运动，我们给出了其角功率谱随频率的增大而产生的渐近行为，并由此也导出其样本轨道满足强局部不确定性。