分数布朗运动驱动的无穷维系统的渐近行为研究

无穷维系统渐近行为的定性理论是围绕随机吸引子或不变测度等问题展开的。本项目基于对Wiener过程驱动的无穷维随机动力系统的各类紧性的深入研究，建立分数布朗运动驱动的随机动力系统的紧性判定方法，系统地研究其渐近行为。探索一般区域(有界或无界)和不同边界条件（含随机动力学边界条件）下分数布朗运动驱动的随机发展方程的解的存在唯一性、稳定性、（弱）连续性，不变测度的存在唯一性，随机吸引子、随机惯性流形等问题，研究随机吸引子、不变测度的几何结构和遍历性质，以及不变测度与随机吸引子之间的关系。比较分数布朗运动驱动和标准布朗运动驱动的随机动力系统动力学的异同，分析和讨论随机动力系统与确定性动力系统的本质区别，研究随机因素给动力系统带来的新现象和新问题，为所研究问题的实际工程应用奠定理论基础。

本项目重点研究分数布朗运动驱动的非牛顿流和修正Boussinesq 近似方程组，针对Hurst指数的不同取值，研究了与之对应的随机卷积的存在性和正则性，获取mild解的适定性，研究相应的随机动力系统的余环性质和(弱)紧性问题，证得随机吸引子的存在性。我们的研究完善了无穷维分数布朗运动随机卷积的存在性证明，可以在此基础上方便地构造不变测度，所使用的技术手段也适合处理其他类似的随机(时滞)抛物方程、波方程以及部分耗散系统等。为了做好技术上的准备，完善一些技术手段，我们还研究了非Gauss噪声驱动的Boussinesq方程的遍历性问题，构造了唯一的不变测度。研究了非Gauss噪声驱动的非牛顿流，证明其存在鞅解，且鞅解存在连续的存在马尔可夫选择。因为分数阶算子和分数阶噪声对随机卷积产生的作用有某种微妙的联系，我们对随机分数阶时滞反应扩散方程证明了其mild解具备时间和空间光滑性，研究了乘性噪声的随机耦合分数阶Ginzburg–Landau方程的适定性和随机吸引子。