由布朗运动和分数布朗运动驱动的一类随机控制问题及应用

As a special class of Gaussian processes, the fractional Brownian motion has found its wider and wider applications in stochastic analysis and finance, thanks to its non semimartingale, non Markovian and long memory (when Hurst paprameter H>1/2) or short memory (when Hurst parameter H<1/2) properties. For a stochastic control system driven by both a fractional Brownian motion and a standard Brownian motion, we plan to treat separately with respect to the cases whether the integrand in the stochastic integral driven by the fractional Brownian motion is linear or nonlinear in the state process. By applying the anticipative Girsanov transformation or the Doss-Sussmann transformation respectively, we hope to transform this stochastic control system into another stochastic control system driven only by the standard Brownian motion, with the coefficients containing the fractional Brownian motion, and derive the corresponding maximum principle and the variational inequality. Comparing with the classical results, we shall obtain a new class of backward stochastic differential equations, with coefficients containing fractional Brownian motion, driven by a standard Brownian motion and an orthogonal martingale. We hope that, by investigating such kind of problem, we can open a new door to study general theory of stochastic control systems driven by fractional Brownian motion and find new applications of fractional Brownian motions in finance.

分数布朗运动作为一类特殊的高斯过程，其非半鞅性、非Markov性以及长期（当Hurst指数H>1/2时）或短期(当H<1/2时)记忆性使其在金融领域有越来越多的应用。对由分数布朗运动和经典布朗运动共同驱动的随机控制系统，本课题拟对由分数布朗运动驱动的被积项关于状态变量的线性或非线性分别进行研究。通过分别应用可料Girsanov变换或者Doss-Sussmann变换，本研究有望将此随机控制系统转变为只由经典布朗运动驱动、参数包含分数布朗运动的随机控制系统，并得到其对应的最大值原理和变分不等式。通过与经典结果的比较，将能得出一类新的参数含有分数布朗运动、由布朗运动和一类正交鞅共同驱动的倒向随机微分方程。在此基础上研究该理论在期权定价等方面的应用。通过对此类问题的研究，希望为由分数布朗运动驱动的随机控制问题开启新的研究途径并为分数布朗运动在金融中找到新的应用。

布朗运动是研究金融资产定价问题的主要基础，其连续性和平稳独立增量性质使其在金融领域的有重要应用。然而，布朗运动的独立增量性与实际情况往往不符，而分数布朗运动的长期记忆性和短期记忆性就使其成为拟合现实资产价格的重要基础过程。. 本项目主要研究由布朗运动和分数布朗运动驱动的随机控制问题及金融应用，也对布朗运动框架下的资产定价问题进行了探讨。. 关于Hurst指数H>1/2的分数布朗运动和布朗运动驱动的线性随机控制问题及随机最大值原理，井帅及其合作者利用可料Girsanov变换将其转换成不显含分数布朗运动的由布朗运动驱动的随机控制问题，使用Kunita－Watanabe－Galtchouk变换，得到随机最大值原理和随机变分不等式。. 解决了由布朗运动、Hurst指数H<1/2的分数布朗运动以及泊松随机测度共同驱动的倒向重随机微分方程的解的存在唯一性，以及由相应的分数布朗运动驱动的随机积分偏微分方程的粘性解的定义与存在性。. 利用Laguerre估计研究了移动平均亚式期权的定价问题。 . 得到了分数布朗运动驱动的平均场随机控制问题的庞特里亚金最大值原理，对偶方程的形式包含了经典结果，并对经典结果有了创新性的扩展。. 对带广义函数漂移项的正倒向随机微分方程的结果已经完成，对经典理论进行了补充。