阻尼波动方程的调和分析方法研究

In this project we will study the damped wave equations which have been widely studied in the past two decades. Previous studies on this function are mainly focused on the well-posedness, blow up and the asymptotic behavior of energy as the time variable goes to infinity. We aim to study this equation by using the methods of harmonic analysis. That is, we shall first study the formal solution to linear damped wave equation which can be written as some basic convolutional operators. Detailed analysis on the kernels of those operators will be performed which then results in the boundedness of those operators. Space-time estimates will also be obtained. Those boundedness and space-time estimates will be the tools to study the nonlinear damped wave equations. Besides, the equations will also be studied in the framework of other important function spaces like Hardy space, Triebel-Lizorkin space and modulation space.

本项目的研究对象是阻尼波动方程，此方程较经典波方程更具有实际应用背景，且近十多年来出现了关于此方程的大量理论研究成果，主要涉及解的适定性、爆破性对于此方程人们特别关注的能量随时间的衰减性质等。我们发现目前文献中对阻尼波动方程的研究均采用传统的偏微分方程研究手法，而本项目我们将完全利用调和分析的手段对此方程进行研究。我们将从线性形式的阻尼波动方程解的具体形式出发，先建立解算子的核函数所满足的各种估计式，接着利用这些估计式获得解算子的各种能量估计及时空估计，再利用这些能量估计及时空估计研究在各种非线性项下的非线性阻尼波动方程的解适定性问题以及能量随时间的衰减问题。另外我们还将在其它一些重要的函数空间，如Hardy空间、Triebel-Lizorkin空间及模空间中讨论阻尼波动方程的性质。

本项目研究的带阻尼项波动方程是一个非常基础的数学模型，方程形式由在经典波动方程上进一步考虑介质阻力而得到，因而比经典波方程更具有实际应用背景，最近二十年来出现了关于此方程的大量理论研究成果，主要涉及解的适定性、爆破性等，其中学者们特别关注的问题有两个，一是振动能量随时间的衰减性质，二是在Fujita指标之上解的整体存在性。.之前文献中对阻尼波动方程的研究均采用传统的偏微分方程研究手法，在本项目研究过程中，我们充分利用调和分析的手段，从线性形式的阻尼波动方程解的具体形式出发，先建立了解算子的核函数所满足的各种大小估计式，利用这些估计式获得解算子的各种能量估计及时空估计，最后把这些能量估计及时空估计用以研究在各种非线性项下的非线性阻尼波动方程的解适定性问题以及能量随时间的衰减问题。我们所讨论的能量估计也在更加广泛的各类函数空间，如Hardy空间、Triebel-Lizorkin空间及模空间中加以讨论，并且在之前学者们还未涉及的模空间上，也较为系统地讨论带阻尼项波动方程解的理论，得到了很多与其它函数空间上不同的解的性质。.本项目中取得的结果，与之前相关此方程研究相比，创新的地方主要体现在：首先，用调和分析方法得到的各种基本估计式较为精确，比如用来证明Fujita指标之上解的整体存在性结果，能够还原目前已有的大部分重要结果，并得到了新的结果，有望把这个问题列推进一步；其次，研究此类方程的Strichartz型估计式，用这类估计式研究非线性方程解的适定性时，可以大大降低对方程初始值的正则性要求；第三是，我们首次在模空间中，对这类方程加以系统研究，得到了在多种初值要求下，非线性方程在模空间上解的适定性问题，并且认为，解决非紧支集初值问题时，Fujita指标之上解的整体存在性，可能可以在模空间中加以解决；最后，我们建立了与方程相应的几个解算子在Hardy空间、Triebel-Lizorkin空间中的有界性，目前未找到其应用，但类比于其它色散型方程已有的结果，这些有界性有其自身的意义。