锥奇性空间上的波动方程及其调和分析问题

The propagation theory of regularity and singularity for wave equation is one of central and challenging problems both in harmonic analysis and partial differential equations (PDEs), and has been studied by many world leading mathematicians. The propagation problem for wave equation on conic singular space is a key problem in the fields of analysis and PDEs based on the interaction of geometric analysis, harmonic analysis, spectral analysis, microlocal analysis and PDEs...This project is intended to develop both theoretical results and practical methods in the study of the propagation of the nonlinear wave equation on a conic singular space, which is a model closely connected with Schwarzschild black hole space. To this end a fundamental tool in the study of wave equation is harmonic analysis and microlocal analysis, in which local behaviour of a system is used to analyze global properties, using techniques such as the Fourier transform. The project attacks central problems in the area, revealing deep connections between analysis and geometry, and applies these tools to study the long-time behaviour of the solutions to some nonlinear wave equations. Expected outcomes of the project include theoretical results and harmonic analysis practical techniques for the solution of wave equations.

波方程正则性和奇性的传播理论作为当今数学界的前沿热门研究课题之一被世界上很多著名数学家关注研究。奇性空间中波的传播问题是分析与偏微分方程领域的核心问题，它涉及几何分析、调和分析、算子的谱分析、微局部分析、以及偏微分方程等诸多前沿、交叉的研究领域。..本项目致力于发展一套适用于锥奇性椭圆退化算子的调和分析和微局部分析工具，旨在研究锥奇性空间中非线性波的正则性和奇性传播理论。申请人及参与者在前期工作的基础上利用谱分析建立锥奇性退化椭圆算子的调和分析工具，进而研究非线性波方程解的正则性和奇性传播。..本项目的研究成果将会丰富奇性空间中的调和分析理论，推进几何分析与偏微分方程交叉领域中的波动方程等对象的研究，并对揭示和预测爱因斯坦场论方程解所对应的特殊黑洞模型的变化趋势和时空发展规律具有极大潜在的应用价值。

波的正则性和奇性的传播理论是当今数学界的前沿热门研究课题之一。本项目以波正则性和奇性的传播理论的前沿问题为目标，详细地研究了锥奇性算子所对应的色散方程（例如波方程、薛定谔方程）的Strichartz估计、resolvent估计等研究具有重要数学物理意义的波动、Schrödinger方程解的存在性和散色理论。各类锥奇性算子的谱测度，是本项目的基础研究内容，同时也是谱分析领域的重要课题。本项目从锥流形上拉普拉斯算子和含各类锥奇性位势的预解式、谱测度的表达式和估计开始展开研究，构造了平坦锥和含Aharonov-Bohm磁场位势薛定谔算子的谱测度表达式，该研究成果既刻画了其衰减性质又包含了振荡性质。通过该结果进而建立了色散估计、整体Strichartz估计以及resolvent估计，用于研究非线性色散方程的解的存在性；并且揭示了算子的特征根在波和薛定谔演化传播的正则性过程中的影响。.. 本项目具体研究的主要内容和成果:(1)研究锥流形上波方程的Strichartz估计，建立非线性波方程小初始值的整体存在性。(2)建立渐近双曲流形上shifted波方程Strichartz估计，并解决关于半线性波方程解存在性的Strauss猜想。(3)建立含反平方位势和Aharonov-Bohm位势薛定谔算子的resolvent估计。 .. 该研究结果和发展的研究方法在理论研究上具有重要科学意义。本项目所发展的新方法基于调和分析，谱分析和微局部分析方法之上，该方法能够有效地处理原来方法处理不了的锥奇性薛定谔算子所带来的奇性。该方法不仅仅用于研究偏微分方程的核心问题（例如适定性问题），还可以开发建立变系数薛定谔算子的调和分析工具。本项目的研究成果将会丰富奇性空间中的调和分析理论，推进几何分析与偏微分方程交叉领域中的波动方程等对象的研究，并对揭示和预测爱因斯坦场论方程解所对应的特殊黑洞模型的变化趋势和时空发展规律具有极大潜在的应用。