流形学习与几何数据分析

非线性降维方法已经成为研究高维数据、发现隐含模式的基本工具，目前主流的降维方法是一大类所谓的"流形学习"算法，如ISOMAP, LLE, Laplacian eigenmaps 等。其基本假设是所研究的数据从弯曲的光滑流形采样而来。由此假设，可演变为更为广泛的"几何数据分析"框架。此框架的流程可以分为三步：(1) 对离散的数据作连续化、几何化，生成几何对象（主要指微分流形）；(2)几何对象又可以用分析工具进行研究，即几何分析化；(3) 最后，分析可代数化、算术化，转化为可计算的程序。拟研究的重要问题包括：（1）几何数据的非线性降维；（2）混合几何数据的分割建模与机器学习；（3）基于几何曲率流理论的图像恢复、图像分割、图像放大、图像修补(impainting)。此研究的特点是可以充分利用黎曼几何与几何分析的丰富理论结果，广泛联系数据分析的各种实际应用，理论与实践并重。