试验设计的字次型及其应用

Minimum aberration criterion, defined on word-length pattern, has often been chosen as a benchmark to select fractional factorial designs. However, minimum aberration criterion is only valid for designs with qualitative factors. When quantitative factors are encountered in experiment, the statistical inference ability can be altered when levels of factors are permuted, but minimum aberration criterion cannot distinguish such phenomena. Our project will first propose the concept of word-degree pattern, which is directly related to the defining contrast subgroup of a regular design with quantitative factors. We will then use algebraic tools including group theory to further analyze the properties of minimum (degree) aberration designs based on word-degree pattern, and construct three-level regular designs for specific parameters. Moreover, we will utilize tools in coding theory including MacWilliams identity to generalize the concept of word-degree pattern to non-regular design cases, simplify the formula to compute word-degree pattern, and then propose algorithms to construct non-regular minimum (degree) aberration designs with arbitrary parameters.

在选择部分因子设计时，基于字长型的最小低阶混杂准则经常被采用，但最小低阶混杂准则仅适用于含定性因子的设计。当试验中包含定量因子时，因子的水平置换通常会改变设计的统计推断能力，但最小低阶混杂准则却并不能加以区分。本项目将首先针对含定量因子的正规设计给出与定义对照子群有着一一对应关系的字次型概念，并在此基础上定义基于字次型的最小低次混杂设计。进而利用群论等代数工具进行深入分析，给出基于字次型的最小低次混杂设计性质刻画，并结合具体的参数，构造常用的三水平正规设计。项目将进一步通过MacWilliams恒等式等编码工具把字次型的概念推广到非正则设计情形，并根据化简后的字次型计算公式给出高效的搜索基于字次型的最小低次混杂设计的算法，最终应用于具有一般参数的非正规设计构造中。

试验设计的性质分析对于相关构造起到关键性作用。在本项目中，我们采用MacWilliams 恒等式及编码理论中工具统一构建了字长型生成器，并且同时考虑了正则和非正则情况。除此之外，我们还证明了两种特殊的字长型生成器分别对应于常用的广义字长型和beta-字长型。我们通过对好格子点法构造的设计进行改造，证明了改造后的设计具有良好的均匀性质。另外，我们通过随机优化算法实现对于给定参数下的相关设计的搜索构造。具体的研究内容和重要结果主要体现在几个方面：1. 提出字长型生成器的概念来统一广义字长型和beta-字长型。字长型生成器定义为所有可能的试验对之间对照的平均相似性。字长型生成器计算简单，速度快，可用于有效地比较和排序设计。基于字长型生成器，我们开发简单快速的方法来计算广义字长型和beta-字长型。我们进一步得到了三水平设计的字长型生成器的下界，并对达到该下界的设计的组合性质进行了刻画。我们还提出了两种构造具有广义最小偏差的超饱和设计的方法，使其具有最小beta-字长型。2. 以可卷型L2-偏差为准则，回顾好格子点法设计的构造，分析其性质，并对好格子点法进行改进，给出一系列具体参数的低偏差设计。3. 我们还通过考察可卷型L2-偏差的性质，对混合水平的设计进行水平置换，并结合优化算法，搜索更为均匀的设计。4. 我们对两部图定位阵及混合水平定位阵给出了一些性质刻画，并通过随机优化算法分别进行了构造。有关定位阵的研究已经被电子信息系统复杂电磁环境效应（CEMEE）国家重点实验室直接应用于雷达对抗试验中。