单位球间全纯逆紧映射问题研究

The project proposes to study proper holomorphic maps between complex unit balls and their applications in complex geometry, which is a topic interwined with several complex variables, CR geometry and complex geometry. The applicants already had some intensive study on this subject, and had obtained some interesting research works. Especially, the applicants recently obtained some break through on the classification problem and the gap phenomenon of proper holomorphic maps between balls. Based on these research works, the project would further study the classification problem and the optimal degree estimates problems of the proper holomorphic maps between balls, as well as te study the proper holomorphic maps between balls with degenerate Gauss maps. These problems are concerned by the mathematicians in several complex variables and CR geometry, but still unsolved up to now. The applicants would like to introduce some new ideas and methods to solve these problems, and hope that these new ideas and methods would afford some new technique for relevant problems. Hence the study of the problems in the project is quite interesting in the academic study and its applications.

本项目拟研究复单位球间的全纯逆紧映射问题及其在复几何中的应用，这类问题属于多复变函数论、CR几何和复几何的交叉前沿课题。项目组成员已经对这一领域进行了深入的研究，并取得一些有意义的研究工作。特别地，项目组成员最近在复单位球间全纯逆紧映射的分类问题和间隙现象等问题上取得了一些进展。在此基础上，本项目拟进一步研究复单位球上全纯逆紧映射的分类问题、次数最佳估计问题和复单位球上具有退化高斯映射的全纯逆紧映射问题。这些问题都是多复变函数论和CR几何中被广泛关注但尚未解决的问题。本项目希望引入一些新的思路和方法来解决这些问题，为研究相关问题提供一些新的技巧。因此，本项目拟研究的问题具有重要的理论意义和应用价值。

本项目主要研究了多复变函数论和复几何中的一些刚性问题，得到了如下主要研究工作：(1). 余二维实子流形的平坦化问题，这一工作与项目负责人前期发表在Math Ann上的工作一起，解决了法国Dolbeault教授等在2009年提出的一个公开问题；(2). 研究了单位球间全纯逆紧映射的刚性问题、分类问题和次数估计问题。特别地，部分解决了D'Angelo猜测；(3). 研究了单位球间的CR嵌入映射，在带有退化的高斯映射时的刚性问题，这是美国嵇善瑜教授等在2013年提出的一个公开问题；(4). 研究了带有非负垂直双截面曲率的Kähler流形上的间隙定理，完善了L. Ni, L.-F. Tam和G. Liu等人的重要工作。这些研究工作被发表在 Sci. China Math.、Adv. Math.、J. Reine Angew. Math.、Math. Z.和Comm. Anal. Geom.等八个国际知名数学刊物上。另外，项目负责人还与合作者一起证明了三维情形的Bloom猜测，这一工作现已投稿于一个国际知名数学学术期刊。因此，该项目团队较好的地完成了项目的计划任务。