Bishop曲面中的等价问题

Bishop曲面问题的研究是一个与辛拓扑、动力系统和天体力学等高度交叉的前沿课题，具有重要的理论意义。申请者已经在这一领域做出了重要和原创性的工作(见"申请人简介"中的"主要工作")，其中包括与黄孝军教授合作解决由J. Moser在24年前提出的著名的关于具有消失Bishop不变量的Bishop曲面的问题（合作论文已正式接收并在最近(Online)发表在Invent. Math.上）。本项目将进一步研究Bishop曲面在具有消失Bishop不变量的复切点附近的局部全纯结构，同时还将研究这一曲面在Bishop不变量为无穷大的复切点附近的正规型问题和平坦化问题。此外，我们还将深入研究在奇异点的复维数大于等于二的流形。我们的研究方法与以往研究这类问题有巨大的不同，具有很高的原创性，为研究相关问题提供了许多新的思路。

在研究计划中，我们主要希望研究Bishop曲面的等价性问题和其在高维的推广，以及一些相关的问题。具体表现在：.首先，在项目负责人和美国黄孝军教授的工作中，我们给出了Bishop不变量为零的Bishop曲面的正规型，并证明了一些收敛性质，但是我们没有办法证明我们得到的形式正规型本身是否一定收敛。.在项目负责人和黄孝军教授的合作工作中，我们对一类特殊的Bishop曲面的等价性问题给出了一个明确的答案，希望对处理一般的情况能有所启发。这一工作现已发表在《Science China Mathematics A》上。.其次，我们希望能够得到Bishop不变量为无穷的Bishop曲面的正规型问题和收敛性问题。.项目负责人已经解决了这一问题。但是黄孝军教授觉得这一结果在方法的创新上略显不足。在美国恭向宏教授的建议下，我们研究了如下与此相关，但是更有意思的问题，即研究实解析的保面积变换的Birkhoff正规型的收敛性问题，这一工作已经整理成文。.申请人还与黄孝军教授和嵇善瑜教授合作，研究了单位球到更高维的单位球的逆紧全纯映射的间隙现象。这是许多数学家关心，但还不能解决的问题。现在这一工作已经整理成文，较早便已经已投一国际知名的数学杂志，现在还在专家进一步的审稿之中。.最后，我们希望能够得到一类余维数为二的流形在奇异点附近的平坦化问题和全纯凸包问题。这也是巴黎六大著名数学大师P. Dolbeault和意大利著名数学家G. Tomassini等长期关注，但目前尚未完全解决的问题。.目前，申请人已经和黄孝军教授合作，在非常弱的条件下（其中有一个Bishop不变量不是1/2），给出了这类曲面可以平坦化的充要条件。并且在其中一个其中有一个Bishop不变量是椭圆的情况下，我们给出了这类曲面的全纯凸包。鉴于这一问题难度太大，因此研究周期相当长，全文共68页。现在我们已经将这一工作投到了一个国际非常著名数学期刊上。只是这一工作审稿周期可能会非常长，要接收和发表还需要一段时间。.因此，虽然研究内容难度非常大，申请人已经超额完成了研究任务。但是鉴于大多数的文章审稿周期过长，因为大部分论文还在专家审稿过程中。