几类非线性时间-分数阶随机偏微分方程的适定性及渐近行为研究

Time-fractional partial differential equations have been widely applied to biomedical science, physics and control science due to they are more suitable than classical partial differential equations to describe some materials and physical processes associated with memorability and reditary property This project mainly focuses on the well-posedness and asymptotic behavior of several kinds of nonlinear time-fractional stochastict partial different equations. Firstly, we will study the asymptotic behavior of solutions of stochastic partial equations driven by space-time white noise with nonlinear growth, such as large deviation principle, Derivative formula, Integration by parts formula, functional inequality, etc.; secondly, we will discusse the well-posedness and asymptotic behavior of solutions of time-fractional stochastic heat equations driven by space-time white noiseunder nonlinear growth conditions; lastly, we explored the well-posedness of solutions of time-fractional stochastic partial differential equations driven by fractional noise under nonlinear growth conditions.

时间-分数阶偏微分方程由于比整数阶偏微分方程更准确地描述具有遗传性质和记忆性质的材料以及物理过程，已被广泛地应用于生物医学、物理学以及控制科学等领域。本项目主要研究几类非线性时间-分数阶随机偏微分方程的适定性及渐近行为，主要包括：.1. 研究非线性增长条件下由时-空白噪声驱动的随机偏方程解的渐近行为，主要包括大偏差原理、导数公式、分部积分公式、泛函不等式等；.2. 探讨非线性增长条件下由时-空白噪声驱动的时间-分数阶随热方程解的适定性与渐近行为；.3. 讨论非线性增长条件下由分数-白噪声驱动的(时间-分数阶)随机偏微分方程解的适定性。

分数阶微积分具有整数阶微积分不具有的记忆和遗传性质， 因此分数阶(偏)微分方程与分数阶随机过程被广泛用于模拟现实世界的复杂系统,例如材料科学、湍流、医学图像等.另一方面, 自然界中的各种不确定因素往往也会对复杂系统产生重要的影响,因此考虑随机扰动下的分数阶随机(偏)微分方程有着重要的理论价值和实际意义,自上世纪90年代伊藤清开创随机微积分理论以来,随机分数阶(偏)微分方程理论已成为目前最活跃的研究课题之一. 鉴于此,本项目主要考虑几类分数阶随机(偏)微分方程的适定性与相关性质,研究了以下内容:.一、.研究了分数阶随机热方程解的Harnack不等式. 不依赖维数的Harnack不等式目前已经成为无穷维扩散半群上的随机分析的重要研究工具. 本项目首先得到了时-空白噪声驱动的具有局部无界漂移项的Harnack 不等式; 其次考虑了分数阶布朗运动驱动的随机热方程的分部积分公式和Harnack 不等式..二、考虑了几类分数阶随机(偏)微分方程的适定性. 解的适定性是研究其他性质的基础. 本项目首先得到了由分数布朗运动驱动的Conformable 分数阶随机泛函微分方程解在 Besov 空间中的存在唯一性; 其次得到了分数阶随机 Navier-Stokes 方程在 Fourier-Besov 空间中强解的适定性..三、得到了几类随机(偏)微分方程解的渐近行为. 首先考虑了一类随机捕食-食饵模型的大偏差原理; 其次得到了几类随机(偏)微分方程解的稳定性; 最后研究了几类随机(偏)微分方程解的平均化原理..本项目按照拟定计划, 合理地完成了各阶段的的主要工作, 本项目的研究成果进一步丰富了分数阶随机(偏)微分方程研究领域的相关研究内容.