几类偏微分方程解的渐近极限问题

本项目拟研究当系统的某些参数趋于0时，偏微分方程解的渐近极限。共计两类，五个具体问题。在第一类问题中，我们考虑定义在带有薄层的复合介质上的椭圆型与抛物型方程，我们研究当外部薄层的厚度趋于0时，方程解的渐近极限。对热方程，在有限时间[0,T]内，已经清楚极限解所满足的方程，我们拟研究的第一个问题是T为无限时，热方程解的渐近极限。第二个问题考虑定义在该复合介质上的拟线性退化椭圆型与抛物型方程（内部区域为p-Laplace方程，外部薄层为q-Laplace方程），我们拟研究当薄层厚度趋于0时，方程解的渐近极限。.下面介绍本项目拟研究的第二类问题。Hunter-Saxton方程来自于液晶材料，它属于双曲型方程，可以描述向列型液晶材料中波的传播。围绕该方程，我们拟研究三个问题：一是一般初值条件下，该方程粘性逼近解的收敛速率；二是该方程色散逼近解的收敛性；三是该方程粘性-色散逼近解的收敛性。

在国家自然科学基金青年科学基金资助下，我们发表了7篇SCI检索论文。在3个方面取得了重要学术进展。.1. 对偏微分方程的强化问题，我们引入了一种研究复合介质上抛物型方程解的渐近行为的新框架，即通过能量方法建立解的先验估计，通过发掘各向异性的热张量与区域几何结构的关系，精确地刻画方程解的渐近行为。我们成功地将数学家 Brezis, Caffarelli 和Friedman关于椭圆型方程的工作推广到各向异性抛物型方程。.2. 对趋化模型中行波稳定性问题，我们得到了三个结果：(1)我们考察了一类复合行波的渐近稳定性，这种复合波在一定程度上可以描述趋化问题中细菌的集中传播现象。与以往的结果相比，我们的初始扰动不需要积分为零的假设，并且我们将该结果应用到带边区域的情形。(2)我们考察了带有奇异（对数型）敏感度函数的抛物-常微趋化模型中行波的稳定性问题。这类行波在一端的渐近状态为0（即真空）。为了克服奇异敏感度函数和真空带来的困难，我们首先利用Hopf-Cole型的变换将原系统变为带有真空的双曲守恒律方程组，进而利用加权能量估计得到新系统的非线性稳定性，最后我们再得到原系统行波的稳定性，这一结果解决了Zhi-An Wang及Tong Li提出的一个公开问题。这种稳定性说明生物物种的演化是可观测的，解释了实验现象的可靠性。(3)我们将结果(2)推广到了抛物-抛物完全耦合趋化模型，克服了由非线性对流项和真空带来的困难。.3. 在流体力学及相关双曲型方程领域我们得到了三个结果：(1)利用能量方法，我们证明了当初值具有紧支集时，1维或2维镜像等温可压缩Navier-Stokes方程组的光滑解在有限时刻破裂，从而将数学家辛周平的一个工作推广了等温流体的情形。(2)根据狭义相对论我们建立了高温高速带点粒子流支配的相对论Euler-Poisson方程组，利用Schauder不动点定理结合能量方法，我们考察了该方程组解的适定性及奇异极限等数学问题。(3)我们考虑带有奇异非线性和阻尼的波动方程初边值问题。这类波动方程可以描述简易的微电子装置（MEMS）。我们证明了该方程具有吸附电压现象，即存在吸附电压，使得当外加电压小于吸附电压时，方程存在整体小解；当外加电压大于吸附电压时，所有解均会熄灭。同时我们也考察了粘性主导极限，得到了波动方程和抛物方程的联系。