带有大对称群的等变梯度度的理论研究及应用

Gradient Equivariant Degree was effectivly used to study the existence, continuation and bifurcations of (quasi) periodic solutions of symmetric dynamical systems with variational structures. But due to the topological sophistication of its definition, it seems that the main difficulty related to the usage of gradient equivariant degree method is the computation. This project is focused on creating new tools using gradient equivariant degree, allowing more effective study of Hamiltonian systems with large symmetric groups. First, theoretical methods will be established based the definition of gradient equivariant degree and connections of two types of equivariant degree, not only allow to compute the values of equivariant degree needed in this project, but also provide theoretical and technical supports for the other computations. Second, apply the developed methods to concrete Hamiltonian systems. Study the existence of geometrically distinct periodic solutions and bifurcations of second order systems, and then investigate quasi-periodic molecular vibrations in symmetric atomic configurations governed by the Lenard-Jones forces and Coulomb forces. Third, we are also interested in creating appropriate computational routines (using the G.A.P platform) incorporated into a computer software containing the computational database and equipped with a user friendly interface, these new methods can indeed be efficiently used by applied mathematicians and engineers.

等变梯度度能够有效地分析具有变分结构的动力系统（拟）周期解存在性、连续性和分岔。然而，复杂的拓扑结构严重阻碍了等变梯度度在方程与动力系统上的应用。本项目的研究重点在于通过建立基于等变梯度度的理论方法，定性研究带有大对称群的哈密顿系统。首先，分别建立基于等变梯度度的定义和基于两类等变度联系的两种理论方法，不仅能够完成本项目所需计算，而且为各种不同大对称群上的等变梯度度值的计算提供理论依据和技术支持。其次，针对两类哈密顿系统——二阶不变哈密顿系统以及Lennard-Jones势和Coulomb势作用下的原子构型，通过推导出基于等变梯度度值的各种指标，研究系统的周期解（或拟周期解）的存在性、几何无关性以及分岔。最后，编写用户友好界面，内含数据库软件的内置程序（使用G.A.P平台），能为应用数学和工程学的科研技术人员直接使用，简化运用等变梯度度分析具体问题的过程。

针对网络上的波动方程，在相关函数是满足Nagumo条件的奇函数，以及曲线图对于排列子群具有不变性的条件下，运用等变拓扑度研究了具有对称性的多个非常数周期解的存在性。所得到的理论结果并不简单是对梯度系统的平凡解的扩展，而是对相关函数是非线性非梯度的大量波动方程都普遍成立，同时也适用于其它类模型，如Kuramoto耦合方程。通过将映射限制在不动点空间上，排除了常数解，从而即使在0不是系统正则点的情况下也成立，例如Goldstone模波动方程。研究了可逆非自治微分方程的次调和解的存在性。将探寻函数是周期偶函数的非自治微分方程的周期解问题转化为泛函空间上的等变方程的解得的性问题，进而在函数在零点附近是线性的而且在无穷远处满足Nagumo的条件下应用Brouwer等变度证明了方程的无限次调和解的存在性。详细探讨了系统不具有对称性和带有额外对称群两种情况，虽然二面体群是最简单的非交换群，但对次调和解的存在性有着重要影响。利用G.A.P编辑程序解决了具体等变度的计算问题。讨论了系统带有额外参数时的次调和解的分岔问题，建立了当参数越过临界值时由平凡解产生的多个次调和解分支的存在性。积极探索了等变度在偏微分方程和最优控制领域的应用，资助完成了对可压缩液晶流体方程的不可压缩极限、柯西问题等的研究。项目资助完成科研论文6篇，期中发表5篇，均被SCI收录，SCI期刊在投1篇。