对称图及相关置换群闭包理论研究

This project will concentrate on the research of closures of permutation groups by using the methods of algebraic combinatorics, abstract group theory and permutation group theory. The main research topic is the digraph representation problem of 2-closed permutation groups. We will choose some special 2-closed groups for the study of the digraph representation problem and try to give the classification of these 2-closed groups. Moreover, this representation problem will also help us to study the corresponding digraphs' structures and properties. Since the nature of the theory of permutation groups is Group action, the study of permutation groups is closely related to the study of the corresponding combinatorial structure. Therefore this project will give new insight and results both on closures theory which was originated by H.Wielandt and on the study of symmetric graphs, such as semisymmtric graphs , self-complementary graphs, arc-transitive digraphs, Cayley digraphs，metacirculants and so on.

本项目将通过代数组合的方法以及运用有限抽象群，置换群理论来重点展开对置换群闭包理论的研究，主要研究课题是2 闭置换群的有向图表示问题。我们将对一些特殊的2 闭置换群类作有向图表示问题，并利用此图表示的结果对这类2 闭群作完全分类。这个问题也与相关的点传递图的全自同构群密切相关，会帮助我们展开对相关图的结构和性质的研究。实际上置换群理论的研究是无法离开相应组合结构的研究，因为置换群的本质就是群作用。所以，本项目将同时继续关注其他具有高度对称性的图的研究，例如半对称图，自补图，弧传递图，Cayley图和亚循环图等。 本项目有以下重要意义：其一，这是对置换群理论，特别是对Wielandt 提出的闭包理论的系统研究。其二，这是对著名的抽象群图表示问题的进一步的研究。

本项目主要通过代数组合的方法以及运用有限抽象群，置换群理论来重点展开对置换群闭包理论的研究，主要研究课题是2 闭置换群的有向图表示问题。我们完成了含正则正规循环子群的2-closed的置换群的完全分类，并完成了non-quasiprimitive 2-closed transitive groups of degree pq的完全分类，证明了这些2闭的置换群都有有向图示。 本项目同时高度关注其他具有高度对称性的图的研究，例如 完全图的齐次循环分解， 几类给定覆盖变换群的2-弧传递图的正则覆盖工作；一些典型图的正则嵌入和给定自同构群的正则地图的分类等课题。.本项目按原计划进行了合作研究，经过四年来项目组成员的努力，取得了一系列的研究成果。课题组成员在相关课题已发表11篇期刊论文，其中8篇SCI文章。.在项目的资助下，课题组成员培养博士生4人 (已毕业2 人), 培养硕士生12人（已毕业3人）， 举办学术研讨会2 次；出国参加国际会议和学术交流 6人次；邀请作报告 12人次；参加国内会议 11 人次。