斜积系统的动力学

Surpported by National Science Funds for Young Scholars "Quasi-periodic linear skew-product systems and its applications, we studied the reducibility problems of quasi-periodic linear skew-product systems. We obatin results:.A) As for analytic quasi-periodic linear skew-product differential equations on SL(2,R) with two frequencies, we obtain some local resluts related to almost reducibility and rotaions reducibility. And we also obtain some new results related to reducibility. All these results are included in a paper published on Inventiones mathematicae..B) As for Gevrey quasi-periodic linear skew-product maps on U(n), we obtain both local and global results related to the rigidity of reducibility...We are going to study some problems related to quasi-periodic linear skew-product systems, quasi-periodic non-linear skew-product systems and other skew-product systems, based on our preceding research. We want to know more about the dynamics of skew-product dynamical systems.

青年基金“拟周期线性斜积系统及其应用”主要研究拟周期线性斜积系统的约化问题，得到的研究结论有：.A）解析的SL（2，R）上两个底频拟周期线性斜积微分方程局部的几乎可约性和旋转可约性结论。并由此推得了关于可约性的一些新结论。相关论文发表在Inventiones mathematicae上。.B）Gevrey的U（n）上拟周期线性斜积映射的可约性刚性的局部和全局结果。..我们计划在已开展的青年科学基金项目的研究的基础上，进一步研究拟周期线性斜积系统、拟周期非线性斜积系统和其他类型的斜积系统的动力学。以期对斜积系统的动力学有进一步的认识。

本项目旨在研究一些斜积系统（主要是拟周期线性斜积系统）的动力学及其相关应用。我们的主要研究内容及工作概括如下：.1. Gevery与解析的拟周期线性斜积系统约化的刚性问题。这是延续之前青年基金的研究工作，改进了项目主持人之前关于约化刚性的一些结果。.2. 非丢番图多频常系统附近的拟周期线性斜积系统的旋转可约性问题，及拟周期薛定谔算子绝对连续谱的存在性问题。相关结果使小位势时绝对连续谱的存在性在多频时突破了丢番图的限制，并与Avila-Jitormirskay近期的一个反面结果相互补充。.3. 谱集是Cantor集的拟周期薛定谔算子的构造问题。此研究提供了能生成Cantor谱的一类具体位势，而此前已知的固定频率时生成Cantor谱的位势多为cos形位势，这其中最有名的例子如具cos位势的Ten Martini问题（其证明系Avila获菲尔兹奖的主要工作之一）。.4. 研究了一类正拓扑熵的Lorenz映射的动力学 ，通对该映射的重整化进行详细刻画，证明了该映射可以一致线性化，并且对线性化类型进行了分类。.5. 对一般矩阵群上局部单参数族的拟周期线性斜积系统的全测可约性问题。此研究可改进已有的相关结果。