脉冲系统Melnikov函数和最大Lyapunov指数的构建方法及其应用

Melnikov function and the largest Lyapunov exponent in impulsive system were studied using theory analysis and numerical simulation, and which would be used to study the dynamical action of impulsive system.1. The nonsmooth part in impulsve system would be approched using orthotropic polynomial, and Melnikov function would be deduced basing on perturbation method and Melnikov method in smooth system. 2. The nonsmooth character was depicted by constructing switch map in impulsive system, and one method about the largest Lyapunov exponent would be given using Khasminskii formula and Gram-Schmidt shandard orthogonalization principle. When all these analytic method in the studying of impulsive system were delivered, we would study global dynamics in nonlinear system with impulsive signals, analytic results would be proved by numerical results, such as phase diagram, Poincaré sectional view, branched graph. When the problem mentioned above were resolved, the construction of Melnikov function and the largest Lyapunov exponent in impulsive system with bounded noise and white noise would be took into account in the next step.

本申请将采用理论分析和数值模拟结合的方法探索脉冲系统Melnikov 函数和最大Lyapunov 指数的构造方法，并用这些解析工具研究脉冲系统的全局动力学行为。1.利用正交多项式逼近，结合摄动法和光滑系统Melnikov 理论，通过衡量同宿轨稳定流形与不稳定流形之间距离，得到脉冲系统Melnikov 函数近似表达式。2. 构造不连续的切换映射，刻划脉冲所产生的不连续特性，利用Khasminskii 公式并结合Gram-Schmidt 标准正交化法则，给出一种计算脉冲系统最大Lyapunov 指数的方法。在上述基础上，考察脉冲信号作用下非线性系统全局动力学行为，结合相图、Poincaré截面图、分岔图等数值方法来验证理论结果的正确性。在上述问题解决后，可更进一步考虑有界噪声和白噪声作用下脉冲系统随机Melnikov 函数和最大Lyapunov 指数的计算方法。

脉冲现象在社会生产实践及科学研究中广泛存在。目前脉冲系统的研究方法主要是数值方法，在解析研究方法方面则成果不多，这使得脉冲系统的研究缺乏理论支撑。本项目主要研究了脉冲系统的Melnikov函数和最大Lyapunov指数这两种最重要的解析方法。本项目首先研究了定点脉冲系统的Melnikov函数问题，采用摄动法给出了定点脉冲系统的Melnikov函数；在定点脉冲系统的基础上，研究了一般脉冲系统的Melnikov函数构造方法，并将该方法应用到一般脉冲系统的混沌预测中去；在前两步的基础上，考察了有界噪声作用下脉冲系统Melnikov函数的构造方法，给出了有界噪声作用下脉冲系统的随机Melnikov函数的构造方法。本研究内容共发表核心期刊论文2篇，已经录用核心期刊一篇；出版专著一本，待出版专著一本；获得授权发明专利一项。在脉冲系统的最大Lyapunov指数的构造方法研究上，构造了一种切换映射，并利用Khasminskii公式及正交化方法，给出了脉冲系统最大Lyapunov指数的构造方法。该部分理论工作已经完成，但是在数值模拟部分，受制于非光滑的脉冲情况，尚未有效解决程序问题，需要进一步加强研究。