哈密顿晶格中非线性波结构的稳定性研究

The (orbital) stability of nonlinear waves (e.g. solitary travelling waves and breathers) in Hamiltonian lattices has been an important topic and some results have been obtained in some special cases/regimes. A principal motivation for the proposed work comes from the important recent advances in understanding nonlinear dynamics of granular crystals and the developments in a new energy-based stability criterion that does not rely much on the choice of the lattice. Having made main contributions to the recent study of the stability criterion, the PI proposes to further develop the ongoing study and consider extensions and ramications of this theory to other settings, including but not limited to waves with oscillatory tails (the nanoptera) and kinks. In this project, the PI also intends to investigate the connections of the theory for lattices to general theory for continuum Hamiltonian systems, as they share similarities in some formulations, which has never been explained. Besides, another aim of the work is to systematically explore the spectra of the operators obtained from two approaches computing linear stability, giving a unified perspective for practically examining the stability properties of traveling waves.

哈密顿晶格中非线性波如孤立行波等解的轨道稳定性，特别是在近期出现的基于能量函数的稳定性判据的理论进展和关于颗粒晶体等材料的实验应用突破的促进下，成为了一个更具有意义的问题。在这个项目中，申请人计划进一步扩展和完善之前与合作者得到的基于能量函数的稳定性判据，全面综合考虑这一问题。一个主要目标是通过其理论与连续哈密顿系统中孤立波的稳定性判据的相似性，研究连续平移不变性对稳定性判据的影响，考察对于连续系统的一般理论应用在晶格情况并将两者统一化的可能性；第二是寻求在稳定性的验证，特别是线性化算子谱的计算上，针对两种方法--考虑共动坐标系并对连续函数离散化和考虑带有平移的周期解并使用Floquet方法--系统性的进行比较和考察其等价性；另外，在此过程中，也将探寻现有对于孤立波和呼吸子的基于能量的稳定性理论对于其他类型解（如带有不衰减振动波、扭结波等）的扩展的可能性。

哈密顿晶格系统广泛存在于如网格电路、复合材料、光缆网格、晶体结构、DNA分子结构等等不同领域的模型与应用之中，本项目主要针对哈密顿晶格中非线性波的稳定性问题进行研究。对于晶格上行波解、周期解等具有一定对称性的解，现有的基于能量的稳定性判据或者适用于特定的系统或者具有较多的限制条件。我们在本项目中将此基于能量的稳定性研究方法推广至更一般的情形，对于常见问题如行波解远端不趋于零、能量函数关于参数如速度为多值函数、本性谱包含零特征值、使用加权空间可能破坏辛对称等进行了讨论与说明，使得稳定性判据可以应用于包含长距作用的大量一维非线性哈密顿晶格。同时，我们还将这一思想应用在部分非哈密顿晶格中，如先在带有耗散项的Frenkel-Kontorova模型中，展示类似的稳定性判据仍然存在。这为研究无耗散项的Frenkel-Kontorova模型以及带有不衰减振动行波解的稳定性做准备与铺垫。此外，我们还对非线性哈密顿晶格中的拓扑保护态的稳定性进行讨论，以能量变化作为参数，利用谱带分析和Krein指标分析边缘态的稳定性。我们的方法在强非线性情形仍然可以得到有效的结果，这有助于非线性拓扑材料的设计。对于以上结果我们也同步给出了数值计算方法与验证，这些晶格中的稳定性问题不仅是数学理论的完善的一部分，更对于固体物理、电子工程、材料科学、生物学等领域的实验与设备设计具有指导意义。