与非线性Schrodinger 方程相联系的若干连续和离散可积系统的可积性

In this project, we will study the integrability for several continuous and discrete integrable equations related to the nonlinear Schrodinger (NLS) equation. We will focus on the following topics: the relation between the discrete NLS equation and several important discrete integrable equations; gauge-equivalent structure and integrable discretization for a modified Landau-Lifshitz equation with anisotropy; the construction of continuous and discrete Painleve equation hierarchy ; the Hamilton theory for the short pules equation and the complex short pules equation which have important applications in nonlinear optic; the dynamics and solution for the discrete non-integrable NLS equation with nonlinear hopping, such as exact spatial period solutions, fixed point and its stability, the property of orbits near fixed points, and discrete soliton. These equations discussed in this project have widely physical applications. Thus, the study on their integrability, dynamic, and soliton is very important not only for the theory of integrable system but also for the discovery of the physical phenomenon. The investigation of this project will give us new finds and new progression of these equations related to NLS equation.

本项目研究与非线性Schrodinger 方程相联系的若干连续和离散可积系统的可积性。主要研究内容包括: 离散NLS 方程和一些重要的离散可积方程的联系； 完全各向异性的修正Landau-Lifshitz方程的规范等价结构和可积离散； 连续和离散矩阵Painleve 方程簇的构造和性质；在非线性光学和激光物理中有重要作用的短脉冲方程和复的短脉冲方程的Hamilton 理论；立方非线性项包含非线性相邻格点的离散不可积NLS 方程的动力学和解，如空间周期解，对应的离散系统的不动点和稳定性，不动点附近轨道的性质，离散孤子解。本项目所涉及的与非线性Schrodinger 方程相联系的系统有广泛的物理应用。研究这些方程的可积性、动力学特征和孤子解不仅在可积系统理论上而且对于揭示所描述的物理现象的本质都具有重要意义，将给与非线性Schrodinger 方程相联系的若干系统带来新发现和新进展。

在研究计划确立的研究目标上取得了重要的创新成果。取得的成果给可积系统理论增加了很有价值的新内容。.主要研究内容：(1)和非线性Schrodinger(NLS)方程相联系的有重要物理应用的可积方程的可积性和孤子解。(2)和NLS方程相联系的非局部可积方程的可积性和孤子解。(3)不可积空间离散NLS方程的空间性质和孤立波解。.主要研究成果：.(1)NLS方程，复的短脉冲方程和Fokas-Lenells(FL)方程在非线性光学中有重要的应用,它们能够从Maxwell理论推导出。我们研究了聚焦-散焦的复短脉冲方程组，构造了它的亮-亮，暗-暗，亮-暗孤子解和怪波解，分析了解的动力学性质。研究了FL方程组的亮-亮，亮-暗孤子解，呼吸子解和怪波解。研究结果对于超短脉冲传播的研究有重要意义。.(2)研究了两个空间离散可积系统，即离散的Kundu-Eckhaus(KE)方程，离散的Hirota方程。 KE方程，Hirota方程是NLS的高阶修正。我们获得了这两个可积离散方程的呼吸子解和怪波解，分析了它们的性质。研究了离散KE方程与KE方程可积性之间的联系。这个结果对于讨论KE方程初值问题是很有意义的。.(3)逆空间、逆时间、逆空时的非局部可积方程的研究引起了极大的关注。我们给出了逆空时的非局部Sasa–Satsuma方程，即逆空时的非局部高阶NLS方程。用Darboux变换方法求得该方程丰富的解，包括周期解、暗孤波解、W-形和M-形孤波解，呼吸子解。 我们提出了一个逆空时非局部mKdV方程。通过逆散射变换方法给出它的孤子解与呼吸子解。.(4)逆空间的非局部NLS方程在一般初值下的柯西问题无法通过逆散射变换精确求解。我们数值研究了具有周期边界条件的非局部NLS方程的柯西问题。用可积离散和不可积离散非局部NLS方程作为求解非局部NLS方程柯西问题的模型。分析了这两种不同的离散格式求解非局部NLS方程柯西问题的数值解的不同性质。揭示了非局部NLS方程柯西问题数值解的性质。通过离散傅立叶变换获得不可积空间离散的非局部NLS方程的稳态孤波解，分析了解的线性稳定性。利用平面非线性离散动力学方法研究了不可积离散NLS方程的精确空间周期解，稳态离散NLS方程的周期轨道，分析了周期轨道的稳定性。