离散可积系统的连续极限理论，孤子的相互作用与离散的矩阵Painleve方程

In this project,we will investigate the theory of continuous limits for discrete integrable equations including discrete mKdV equation hierarchy, discrete Hirota equation, discrete short pluse equation and discrete coupled KdV-type equation, that is, we will focus on the relations between integrability for those discrete equations, such as the Lax pairs, the Hamiltonian structures, the conservation laws, and the corresponding integrability of continuous integrable equations in continuous limits. We will do the theoretical analysis of soliton interactions for some discrete integrable systems including the relativistic Toda lattice equation, Suris lattice equations, partial difference KdV-type equations, partial difference Boussinesq equation. We hope obtain new dynamic features of discrete solitons. We will discuss the properties of discrete solitons for some discrete nonintegrable equation,e.g.,discrete nonintegrable nonlinear Schrodinger equation by numerical simulations and theoretical analysis. We will construct the discrete matrix Painleve equation by using the discrete matrix integrable equation hierarchy related to the nonisospectral problem and the Backlund transformation of matrix Painleve equations. We will also give the solutions for discrete matrix Painleve equations.

本项目研究离散可积方程（如离散的mKdV方程簇，离散的Hirota方程，离散的Camass-Holmoe方程，离散的短脉冲方程，多分量的KdV-型方程）的连续极限理论，即研究这些离散方程的可积性质（如离散的Lax对， 离散的Hamiltonian结构，离散的守恒律，离散的孤子解等）在适当的连续极限下是否能够导致到对应的连续可积方程的可积性质。给出若干离散可积系统（如相对论的Toda微分-差分方程，Suris的微分-差分方程，全离散KdV-型方程，全离散Boussinesq方程）的孤立波的相互作用的严格理论分析，揭示离散孤子解的一些新的特征。从数值和理论上讨论离散不可积方程（如离散不可积非线性Schrodinger方程）的孤子解的性质。用非均匀谱离散矩阵可积方程簇的静态流约化以及矩阵Painleve方程的Backlund变换方法构造离散矩阵Painleve方程，并探索这些离散矩阵方程的解。

本项目研究按计划顺利执行。 在研究计划确立的研究目标上都取得令人关注的重要成果。主要成果包括：(1) 离散可积方程系统的孤子解的构造和动力学性质的理论分析是可积系统理论中的重要问题。对一个不可积的半离散非线性Hirota方程系统，求出了孤子解包括亮孤子和暗孤子，深入地分析了两个孤子间的相互作用性质，揭示了这个离散系统孤子解相互作用的一些新特征。对一个可积的半离散非线性Hirota方程， 研究了它的连续极限理论，证明这个可积的半离散非线性Hirota方程的Lax 表示，Darboux 变换，离散孤子解，离散守恒律在连续极限下导致到Hirota方程对应的结果。(2) 从Maxwell电磁场理论出发，描述光纤中超短脉冲信号传播的方程，复的短脉冲方程被提出。我们研究了复的短脉冲方程的Lax可积性，利用Darboux 变换，获得了复的短脉冲方程的孤子解，呼吸子解，怪波解。这一成果对于研究非线性光学有重要的意义。(3) 我们获得了矩阵Painleve-1和矩阵Painleve-2方程簇，建立了矩阵Painleve-2方程簇和矩阵mKdV方程簇的联系。(4) 我们研究了两类不可积离散Hirota 方程, 证明了它们分别规范等价于不可积的更一般的离散铁磁链方程和不可积的更一般的离散修正的铁磁链方程。我们研究了这两类不可积离散Hirota 方程的动力学性质。获得了这两类不可积离散Hirota 方程的空间周期解。我们给出了静态的离散Hirota 方程的数值模拟， 从而揭示了它们比静态离散非线性 Schrodinger方程的更为丰富的动力学特征。(5) 非局部可积方程的研究是最近引人关注的新问题。我们研究了聚焦和散焦的非局部非线性Schrodinger 方程和它们的离散方程的规范等价结构，证明了它们分别规范等价于类铁磁链方程和类修正的铁磁链方程以及对应的离散方程。我们的结果表明非局部非线性Schrodinger 方程和经典的非线性Schrodinger 方程存在很大的差别。对于离散的聚焦非局部非线性Schrodinger 方程，求出了它的孤子解。这个离散孤子的连续极限恰好是聚焦非局部非线性Schrodinger 方程的解。我们揭示了非局部非线性Schrodinger 方程的解和经典的非线性Schrodinger 方程解之间的关系。.本项目取得的研究成果给可积系统领域增加了有价值的新内容。