磁流体力学方程自由边界问题的适定性

The free boundary problem for the equations in fluid dynamics has the significant physical background in many fields such as meteorology, oceanography, astrophysics and geophysics, and its mathematical theory attracts the strong interest in the worldwide PDE community. This project is concerned with the well-posedness of the free boundary problem for the equations of magnetohydrodynamics. The problems under consideration are: the local well-posedness of the free boundary problems for the ideal magnetohydrodynamic equations; the global well-posedness of the free boundary problems for the viscous non-resistive magnetohydrodynamic equations and the inviscid resistive magnetohydrodynamic equations. By developing the techniques of treating boundary terms and the corresponding nonlinear energy methods, we expect to reveal the essential difficulties and new phenomena of the magnetic field, and then improve and develop the well-posedness theory of the free boundary problem for the equations of magnetohydrodynamics. Our study will strive to resolve some important problems currently remained in the free boundary problem for the equations of magnetohydrodynamics, and hence enrich and develop the mathematical theory of the free boundary problem for the equations in fluid dynamics.

流体力学方程的自由边界问题，在气象学、海洋学、天体物理学和地球物理学等具有显著的实际物理背景，其数学理论吸引了国内外偏微分方程界的浓厚研究兴趣。本项目研究磁流体力学方程自由边界问题的适定性，具体研究：理想磁流体力学方程自由边界问题的局部适定性；粘性无磁扩散和无粘带磁扩散的磁流体力学方程自由边界问题的整体适定性。通过发展边界项处理技巧和相应的非线性能量方法，期望揭示磁场的本质困难与新的现象，完善和发展磁流体力学方程自由边界问题的适定性理论。本项目的研究力争解决磁流体力学方程自由边界问题中目前遗留的一些重要问题，从而丰富和发展流体力学方程自由边界问题的数学理论。

自由边界问题是流体力学方程中一类非常重要的定解问题，具有显著的实际物理背景，其数学理论研究具有极大的挑战性，是偏微分方程理论研究领域的前沿热点与难点。本项目主要围绕磁流体力学方程自由边界问题的适定性理论开展研究，得到了以下重要结果：建立了三维粘性无磁扩散磁流体力学方程二相自由界面瑞利-泰勒问题的非线性稳定性准则，在非线性意义下阐明了有限深度磁流体中非水平磁场对瑞利-泰勒不稳定性的抑制作用以及水平磁场的无法抑制作用；证明了无粘带磁扩散磁流体力学方程自由界面问题的整体适定性，揭示了非水平磁场的稳定作用并得到了与欧拉方程本质不同的新的结果；证明了理想磁流体力学方程自由边界问题的局部适定性，发展了克服相较于欧拉方程磁场所带来的本质困难的技巧；证明了Navier-Stokes方程自由边界问题的整体适定性与粘性消失极限，发现了几个相消性现象和发展了利用各向异性的技巧。本项目的研究，发展了一些边界项和非线性项的处理技巧以及相应的非线性能量方法，揭示了磁场所带来的本质困难与新的现象，解决了磁流体力学方程自由边界问题中之前遗留的一些重要问题，从而丰富和发展了流体力学方程自由边界问题的数学理论。