Navier-Stokes方程组自由边界问题的适定性与零参数极限

This project is concerned with the one-phase and two-phase free boundary problems of the Navier-Stokes equations that describe the dynamics of the ocean, i.e., the viscous surface wave problem and the viscous surface-internal wave problem. The problems under consideration are: the global well-posedness and time-decay of the (incompressible and compressible) viscous surface wave problem, the zero surface tension limit, and the zero mach number limit (i.e. the incompressible limit) of the compressible viscous surface wave problem; the global well-posedness and time-decay of the (incompressible and compressible) viscous surface-internal wave problem; the stabilized effects of the surface tension and the magnetic field for the Rayleigh-Taylor instability, and the corresponding nonlinear stability and nonlinear instability. We will establish the rigorous mathematical theories for these problems above by developing a series of nonlinear high-order energy methods. Our study will strive to resolve some open problems currently remained in the free boundary problem of the Navier-Stokes equations, and hence enrich and develop the mathematical theory for the viscous fluid mechanics.

本项目研究Navier-Stokes方程组的一类描述海洋动力学的单相与二相自由边界问题，即粘性表面波问题与粘性表面-内部耦合波问题。具体研究：（不可压和可压）粘性表面波问题的整体解的存在性与时间衰减估计，零曲面张力系数极限，以及可压粘性表面波问题的零马赫数极限（即不可压极限）；（不可压和可压）粘性表面-内部耦合波问题的整体解的存在性与时间衰减估计；曲面张力作用和磁场对Rayleigh-Taylor不稳定性的稳定效应，以及相应的非线性稳定性与非线性不稳定性。通过发展一系列的非线性高阶能量方法，我们将对以上问题建立严格的数学理论。本项目的研究力争对Navier-Stokes方程组自由边界问题中目前遗留的许多重要公开问题有所突破，从而丰富和发展粘性流体力学的数学理论。

本项目研究的Navier-Stokes方程层流自由边界问题来源于海洋动力学，具有很强的理论研究意义和物理应用背景。本项目重点研究该问题的整体适定性、稳定性和物理参数极限及相关问题；证明了Navier-Stokes方程自由边界问题的零曲面张力系数极限，在非线性意义下刻画了曲面张力和磁场对Navier-Stokes方程二相自由边界问题的Rayleigh-Taylor不稳定性的稳定效应的临界准则，并发展了一套适用于证明Navier-Stokes方程及一般耗散型方程整体解衰减估计的新的能量方法。本项目的研究解决了Navier-Stokes方程自由边界问题中遗留的几个重要问题，发展了新的方法，丰富了粘性流体力学的数学理论。