Kloosterman和及其相关问题

关于Kloosterman和及其相关问题的研究在现代解析数论以及自守形式理论中占有极其重要的地位，并且在密码、编码理论中具有非常广泛的应用前景。本项目主要针对各种形式的Kloosterman和相关的恒等式、上界估计、高次均值、混合均值等性质进行研究，获得一些重要的算术性质；同时利用现代分析方法及代数方法研究Kloosterman和在模形式中的应用；并将模形式中Kloosterman 和的相应结果应用到经典解析数论问题中，以期获得更为深刻的结果。 另外，也将利用有限域中Kloosterman和的恒等式及上界估计，深入探究编码理论中码的重量分布、Bent函数的构造等问题，以实现Kloosterman和在编码理论中的重要应用。

本项目主要对Kloosterman和的分布性质及其在模形式、编码等相关问题中的应用进行深入研究。具体说来，利用N.M. Katz 关于Kloosterman 层的工作，给出了偶次均值的渐近公式以及奇次均值的非平凡估计。对于短区间上Kloosterman 和的分布性质，在以不同方法处理特殊指数和的基础上，得到了关于\sum_{c\le N}S9a,c;q)S(b,c;q) ，其中(a,q)=(b,q)=1 以及N\le q精确的渐近公式。将Selberg关于孪生素数猜想的思想引入到Kloosterman和S(1,1;c)取值问题中，改进了相关结果。从统计的角度，证明了Kloosterman和的两种中心极限定理。对于二次剩余和二次非剩余的分布问题，利用素变量的特征和估计以及双重指数和的估计，给出了S. Wright 的结果的改进和推广。对整数及其逆的分布也得到了一个更一般的结果。.此外，在自正交码、量子纠错码及可除码的构造问题上也取得一定的创新性成果。