具有记忆材料三维热传导模型的高精度方法

The heat conduction equation with memory term have be widely applied in thermodynamics and viscoelastic dynamics, and can be described a fractional integral differential equation. The research object of this project is to construct the efficient numerical algorithms for solving the three-dimensional heat conduction equations with memory term, and the contents include two parts as follows: (1) Based on existing orthogonal spline collocation method , we propose new and robust alternating direction implicit orthogonal spline collocation methods, and improve the computational efficiency and also the convergence behavior. (2) By the existing alternating direction implicit compact finite difference schemes, we further construct fast and efficient alternating direction implicit compact orthogonal spline collocation method, which can ensure time and CPU savings and super-convergence rate and the better conservative property. We also establish the existence and uniqueness of the numerical solution. Then by means of the generalized chain rule, give the results of stability and convergence and numerical results to confirm the theoretical analysis. Through the studies in this project, the new improved high-order parallel numerical methods and basic theory will be gradually established for the high-dimensional heat conduction equations with memory term, which can enhance the ability of numerical simulation of heat conduction equations.

具有记忆材料热传导模型在热动力学和粘弹性动力学中有着广泛的应用。此类方程也属于目前热点研究的一类分数阶微分方程。本项目以具有记忆材料三维热传导模型的高效数值方法为研究对象，研究内容包括两个方面：(1) 基于现有的具有较高精度的正交样条配置格式，构造适应于此模型特征的新的健壮的交替方向并行的正交样条配置方法，解决具有记忆材料高维热传导模型存储量大，求解效率低，甚至求解失效的问题。(2) 基于现有的交替方向并行的紧致有限差分思想，构造交替方向并行的紧致正交样条配置方法，大大提高计算精度和效率，节约CPU时间，并进一步分析所提出方法的存在性和唯一性。在此基础上，建立这些格式的时间半离散和时空全离散的稳定性和收敛性等结果，并展示与理论分析相吻合的数值结果。通过本项目的研究，逐步建立具有记忆材料高维热传导模型的高阶并行算法及理论分析，为此模型的应用研究提供坚实的基础。

具有记忆材料热传导模型在热动力学和粘弹性动力学中有着广泛的应用。基于现有的具有较高精度的正交样条配置格式，本项目构造了适应于此模型特征的健壮的新型正交样条配置方法，并获得了时间半离散和时空全离散的稳定性以及H1、H2、模误差估计等理论结果，数值结果也与理论结果相吻合，有效的解决了具有记忆材料高维热传导模型存储量大，求解效率低，甚至求解失效的问题。此外，本项目针对具有记忆材料热传导模型数值求解中温度出负的问题，在任意星形多边形网格上构造了保正有限体积格式，该格式给出了离散通量的显式表达式，而且只包含单元中心未知量，处理间断是严格的，可用于求解非均匀全扩散张量问题。数值结果表明本项目构造的新格式对光滑系数和间断系数问题均有效，同样也适用于各项异性的问题，且都具有保正性。在任意扭曲三角形和四边形网格上，对数值解可以获得接近于二阶的收敛速度，对流可以获得接近于一阶的收敛速度，有效的解决具有记忆材料热传导模型数值求解中温度出负问题。