Alperin权猜想与有限李型群的局部结构

As the embodiment of the global-local thought, Alperin weight conjecture is an important problem in modular representations of finite groups. Due to the difficulty of this conjecture, little progress towards the general proof had been obtained in the past decades. Another way to prove this conjecture is to reduce it to simple groups, which has been realized only recently. Thus, it suffices to verify the inductive condition for all finite simple groups. But this condition is highly complicated, which makes the verification of this inductive condition extremely challenging. The inductive condition requires detailed study of the irreducible Brauer characters and local structures of the universal covering groups of finite simple groups. This project concentrates on the local structures of finite groups of Lie type, aiming to solve the problems concerning the classification of weights, actions of automorphisms on weights, the extensions of weight characters for some finite classical groups. The research of this project will make its contribution to the final proof of the Alperin weight conjecture and the study of local structures of finite groups of Lie type.

作为整体-局部思想的体现，Alperin权猜想是有限群模表示论的一个重要问题。其一般性的证明非常困难，几十年来进展甚微。证明该猜想的另一种思路是将其约化到单群，这一点直到最近才取得成功。这样，证明Alperin权猜想的工作就转化为对所有单群验证所谓的约化条件。但该约化条件非常复杂，这使得其完全验证仍是一项极具挑战的巨大工程。具体来说，要对某个单群验证该约化条件，需要对其万有覆盖群的不可约Brauer指标和局部结构作详尽的研究。本项目集中于有限李型群的局部结构的研究，即解决一些有限典型群的权的分类、自同构在权上的作用、权指标的扩张等问题。本项目的研究将促进Alperin权猜想的证明、推动有限李型群局部结构的研究。

作为有限群模表示论的重要问题，Alperin权猜想断言有限群的不可约Brauer特征标个数可以由一种局部结构——权给出。几十年来，Alperin权猜想的一般性的证明进展甚微。直到最近，研究者终于将该猜想约化到单群，即：要证明Alperin权猜想，只需对所有单群验证所谓的约化条件。但该约化条件非常复杂，这使得其完全验证仍是一项极具挑战的巨大工程。本项目主要研究Alperin权猜想约化条件的验证。具体来说，本项目对以下情形验证了Alperin权猜想约化条件：（1）C型单群奇素数时块形式的约化条件；（2）A型单群非块形式的约化条件；（3）B型单群奇素数时块形式的约化条件；同时，本项目还证明了有限李型群绝大部份不可约特征标限制到导群以后还是不可约的。本项目的研究将促进Alperin权猜想的证明、推动有限李型群表示理论和局部结构的研究。