子群局部特性与有限群结构

The purpose of this project is to obain the group and graph structure of some finite groups and to promote the research on some frontier topics of finite groups by investigating systematically and deeply the relation between local characteristics and global characteristics of subgroups, the influence of local characteristics of subgroups on the properties of local defined formations of finite groups and the group and graph structure of finite groups with some specific subgroups and so on. Any essential progress of the project is important to apply and develop the basic theory, theory of soluble groups, local group-theoretic analysis and graph theory of finite groups and related subjects. The project carries forward good traditions of Guangxi on the research of finite groups (especially on abstract finite groups and groups and graphs). It is meaningful to stabilize, strengthen and promote the characteristic research of finite groups theory and to foster science and technology talents.

项目拟通过对子群的局部特性与全局特性的关系、子群的局部特性对有限群局部定义群系属性的影响、具有特定子群的有限群结构及图结构等内容的系统深入的研究，得到若干有限群的结构和图结构，推进有限群若干前沿专题的研究进展。项目的任何实质进展对有限群的基础理论、可限群理论、局部分析方法和图论的应用、充实和发展以及相关应用学科的发展都有重要的意义。本项目秉承了广西作为西部地区在有限群研究方面（尤其是在抽象有限群、群与图研究方面）的良好传统，对稳定、加强和促进具有特色的有限群理论的研究以及培养和扶植科技人才具有特定意义。

本项目研究子群局部特性对有限群结构的影响，属于基础数学研究。由于子群的重要特性对有限群结构有很强的控制作用，因而很好地利用它们能够比较深入地刻画有限群结构。.项目的主要研究内容之一是子群的c*-可补性、几乎s-嵌入性和广义c#-正规性，p'-Engel元连同四个相关集合。利用这些子群或元素的局部特性，我们得到有限群p-超可解性、p-幂零性和超可解性的若干判别准则，进一步得到有限群若干局部定义群系属性。这些结果的意义是统一推广了多个相关的重要结果，推进相关研究的深入发展，预计会有一些应用及追踪研究。.项目的主要研究内容之二是有限群的各种图的图论性质和群论性质。这些图主要包括四度弧传递或连通Cayley图、非交换单群的交集图、五度对称图、连通立方对称图和非互素图。我们给出了二面体群的四度X-弧传递Cayley图一个刻画，特别是点稳定子群的阶不超过16的这类图的完全、精确的分类。我们证明了, 当Aut(G,S)在S上本原时，有限群G上的四度连通Cayley图一定是正规或者双正规的，部分解决了李才恒在2008年提出的一个猜想。给出了一类五度对称图和阶为12p3的连通立方对称图的完全分类。证明了有限非交换单群交集图的直径不超28，给出了沈如林在2010年提出的问题的肯定回答。得到了非互素图若干深入的图论性质及群论性质。这些结果是某类图的完全或精确分类, 有些直接或部分解决了其他学者提出的猜想或问题，因而对有限群论及图论相关交叉研究具有重要意义。