魔方中的机构拓扑学理论和方法研究

The new mechanism principle is the basis of mechanical innovation. The Rubik’s cube mechanism with variable topology and strong coupling lacks corresponding theoretical guidance, which seriously restricts the innovation and application of such mechanisms.. This project focuses on the classic third order Rubik’s cube and analyzes its degree of freedom, topology and type synthesis, aiming at establishing the composition theory system of the of the Rubik’s cube mechanism and laying the foundation for the development and application of such mechanisms. Firstly, the expression of geometric and the rotational relationships between different components are built by applying Clifford geometric algebra and group theory, the structure type of the new kinematic pair is described, and the unified mathematical description of the Rubik’s cube topological structure under different configurations is formed. Secondly, the variable cell characteristics of the Rubik’s cube will be studied and the conversion law among states of different configurations will be summarized. After that, the coupling relationship in loops are analyzed, and a suitable solution for the over-constraints of Rubik's cubes is researched in different configurations, and then mobility theory is built for Rubik’s cube by screw theory. Finally, considering the geometric constraints conditions and variable cell characteristics, the type synthesis theory for Rubik's cube mechanism is set up through collocating combination and distribution of different components, the application of Rubik's cube in the engineering industry, such as robotics industry and manufacturing fields, is found and some experimental prototype of the typical application mechanism are produced.

新型机构原理的提出是机械自主创新的基础。变拓扑、强耦合的魔方机构由于缺乏对应的机构拓扑学理论指导，严重阻碍了此类机构的创新和应用。.本项目以经典三阶魔方为研究对象，对其进行自由度分析、拓扑结构分析与综合，以建立魔方机构系统组成的理论体系，为此类机构的开发和应用奠定基础。首先，应用Clifford几何代数和群论完整表述构件间的几何和转动关系，建立魔方新型运动副的结构类型描述以及不同构态下魔方拓扑结构的统一数学描述。然后，研究魔方机构的变胞特性，总结不同构态之间的转换规律，进而分析不同构态下环路间的耦合关系，并基于螺旋理论，在已有过约束分析方法的基础上，提出在不同构态下魔方的过约束求解方法，建立适应于魔方机构的自由度理论。最后，考虑魔方机构的几何约束条件及变胞特性，通过配置构件组成及分布，建立魔方机构构型综合理论，寻求魔方机构在机器人、制造业等机械工业方面的应用，同时进行典型应用样机制作。

随着对机械产品需求的不断升级，传统的平面简单机构正向现代的空间复杂机构迈进，由定拓扑向变拓扑、非/弱耦合向强耦合发展，具有拓扑可变和耦合程度高的魔方机构逐渐受到关注。.本项目以经典三阶魔方为研究对象，开展了魔方机构构型的变拓扑性及多构态特性的研究，分析了魔方机构的结构组成、拓扑结构与特征尺寸间的映射关系以及构态变化规律，利用图论和邻接矩阵进行魔方拓扑结构的数学描述。绘制了魔方单元机构的运动简图，提出了用分级有向图表示机构的环路和运动流向，基于环路依次闭合法和广义运动副等效法提出了适合魔方机构的过约束分析的新方法，进而得到魔方机构的自由度。提出了能够描述魔方机构运动特征的三类组合运动副和等效刚体的概念，从生物学角度研究了魔方机构的变胞特性，对魔方机构运动过程中，子块间的关系用数学语言进行了描述，提出了魔方机构构态变换矩阵的概念和描述方法，建立了魔方机构统一的变胞描述方程，并给出了魔方机构的基本变胞方程的通用表达式。建立了魔方操作和置换之间的映射关系，并在轮换表达式的基础上添加方向行得到改进轮换表达式，引入群的阶和非传递群深入研究了各转动的运动变换，进而建立了魔方的正解数学模型，搭建了智能魔方还原机器人验证正解模型和还原算法的正确性。从魔方机构中影响拓扑结构因素的对称性入手进行分析，对魔方机构转轴的对称性进行了详细的描述和分析，给出了魔方机构转动副接触面满足对称性的表达式，利用邻接矩阵对转动副接触面之间的相交情况进行分析，提出了魔方机构的综合理论，得到了不同拓扑结构的魔方机构。基于魔方机构的运动拓扑理论和变胞理论，提出了一种基于魔方机构的轮腿式移动机器人，通过利用躯干的变胞可以实现不同形态之间的转换。建立了虚拟样机模型，完成了移动机器人的直行、原地旋转、越障以及形态转换仿真实验。研制一台样机，进行了不同形态下的移动与越障实验，验证了移动机器人方案的可行性。