关于阿贝尔簇的基变换导子的有界性估计

In his famous paper (1983), Faltings proposed a new arithmetical invariant of abelian varieties which is now called Faltings height of abelian varieties. Via Faltings height, he showed the finiteness of moduli spaces of abelian varieties, and proved the Modell's conjecture. There is an important conjecture about the estimate of Faltings height, called the generalized Szpiro Conjecture. There is little progression about this conjecture during these years. During 2000-2001, C. Chai and T. Yu studied the change of Faltings height after the base field extension and they called it the base change conductor. In this program, we will focus on the estimate of base change conductor and try to find a good bound for it. When the bound is good enough, we can reduce the generalized Szpiro conjecture to the case over the rational field or to the case of semi-stable abelian varieties.

在1983年的著名文章里，Faltings利用Arakelov几何思想提出了一个非常重要的，用来衡量阿贝尔簇算术复杂度的不变量――Faltings高度。 通过研究Faltings高度和阿贝尔簇模空间的有限性， Faltings证明了Mordell猜想也因此获得菲尔兹奖。.关于Faltings高度的大小，人们有个非常重要的猜想――广义Szpiro猜想。关于这个猜想，人们知道的很少，近几年没有什么进展。人们注意到 Faltings高度会随着基域的扩张而变化，在2000－2001年，C. Chai和J.Yu 仔细研究它的变化情况，并且把它的变化量叫做基变换导子。在本研究项目中，我们主要关注基变换导子的有界性，我们希望找到它的一个比较准确的的上界。当上界估计比较准确时，我们可以把广义Szpiro猜想简化到有理数域的情况上，也可以把它简化到半稳定的情形。

Flatings高度是算数几何中一个非常重要的不变量，它在Faltings的Mordell猜想证明中起着关键的作用。阿贝尔簇的Faltings高度的大小估计是算数几何的核心问题之一，其中就有著名的广义Szpiro猜想。本项目主要考察Faltings高度在基域扩张下的变化情况，尝试证明基变换导子的一直有界性，但是由于研究过程中存在短时期内无法克服的困难，很遗憾的无法写出完整的严谨证明。然而本项目还是获得以下部分结果（完整叙述将在结题报告正文陈述）：基变换导子的一致有界性将把广义Szpiro猜想简化到有理数域的情况上，也可以把它简化到半稳定的情形。