具有非H1空间极弱解的麦克斯韦方程组的连续有限元方法的多重网格及自适应算法

The H1 conforming and nodal continuous finite element method is a new research direction in the last decade for solving the non H1 space very weak solution of Maxwell equations. There are three types of methods: L2 projection method, weighted method and H-1 norm method. However, no literature and work are available in the development of the multigrid algorithm and the adaptive algorithm for these methods. This project will focus on the convergence theory of the multigrid algorithm and the posteriori error estimates and the convergence and optimality of the adaptive algorithms for these three types of continuous finite element methods.Moreover,this project will study the continuous finite element method for a type of Maxwell equations with a Lagrange multiplier, including the stability, convergence and error estimates. Further, the related multigrid algorithm and the adaptive algorithm will also be studied for this type of Maxwell equations. We shall mainly study the case in which both of the solution pair (u,p) belong to non H1 spaces. This challenging case has not yet been studied so far.The continuous finite element method bears many advantages, e.g., it can well numerically solve the non H1 space very weak solution; it is suitable for those non-smooth data, i.e., the source data belong to H-1 space, the boundary data belong to H-1/2 space; it ueses nodal continuous elements and a lot of softwares and algorithms are available, etc. It is a universal phenomenon that the solution of those problems with the dominated partial derivatives operators Curl and Div is outside the H1 space. The typical reasons are non-smooth domain boundary,irregular source and boundary data of dual and negative-order Sobolev spaces,discontinuous media,etc. Many paramountly important physical and mathematical problems involve Curl and Div operators, so the research topics in this project are representative and important with extensive applications.

具有非H1空间极弱解的Maxwell方程组的连续有限元方法是近10年来的新研究方向，有三类方法：L2投影方法、加权方法、H-1 范数方法。这些方法的多重网格及自适应算法，目前没有任何研究。本项目将研究这三类方法的多重网格算法的收敛性和后验误差估计、自适应算法的收敛性、最优性；还将研究混合乘子型Maxwell 方程组的连续元方法及稳定性、收敛性、误差估计与有关的多重网格及自适应算法。重点是混合乘子型Maxwell方程组的解(u,p)都属于非H1空间的情形，该情形目前没有任何研究。连续元方法具有很多优点：可求解非H1空间解，适合H-1空间源数据和H-1/2空间边界数据，使用节点连续元，通用软件与算法多。非H1空间解在Curl、Div算子支配的问题中很普遍（原因是区域、源与边界数据、介质系数等非光滑）；许多极为重要数学物理问题都涉及Curl、Div算子。因此本项目的研究具有理论与应用重要意义。

本项目已顺利完成了各项研究计划、内容和目标，取得了预期研究效果和多项重大原创性创新研究进展和成果。研究背景、内容：麦克斯韦方程组广泛存在于数学物理、科学工程、国防科技等领域；也与许多十分重要偏微分方程广泛联系在一起，例如超导问题、液晶问题、流体动力学问题、弹性力学问题等。这些问题的有限元方法有大量的困难，最具挑战性困难是如何正确最优逼近非H1空间极弱解和如何谱正确逼近特征值问题并建立离散紧性理论。因为区域和介质的复杂性，由Curl算子和Div算子决定的解，通常不属于H1空间。麦克斯韦方程组特征值问题有限元方法研究是计算电磁场问题核心课题。如何保证有限元方法谱正确逼近特征值问题的极为关键理论是离散紧性理论。本项目研究主要选取具有广泛数学物理背景的计算电磁场问题的这两个极具挑战性研究课题，因而具有重大科学、理论、应用意义。具体内容: 研究一大类广义麦克斯韦方程组的有源问题和特征值问题的有限元方法、算法及其数学理论；同时，也研究相关问题有限元方法、算法及其数学理论。重要结果：针对一大类广义麦克斯韦方程组，发展了多个新Lagrange和Nedelec有限元方法，建立了多个数学分析和理论框架，尤其建立了多个离散紧性理论框架，正确最优数值求解了非H1空间极弱解，谱正确最优数值求解了特征值问题；此外，发展了相关流体力学和弹性板壳问题新有限元方法及其数学理论。科学意义：发展了多个新Lagrange有限元方法，第一次建立了混合Lagrange元多个离散紧性理论框架，提出了几族新混合Lagrange混合元，发展了新多重网格算法和新自适应算法及其数学理论， 解决了非仿射四边形和六面体网格Nedelec元谱正确逼近特征值问题，发展了第一个正定型混合变分方法、有限元方法及理论。关键数据：完成论著24篇（发表/接受论著21篇，投稿3篇）和待完成论著2篇。其中，在计算数学、科学与工程计算知名SCI期刊发表（接受）12篇： SIAM J. Numer. Anal. 2篇，SIAM J. Sci. Comput. 1篇，Acta Math. Sci. 1篇，J. Sci. Comput. 2篇，J. Comput. Appl. Math. 2篇，Numer. Methods Part. Diff. Eq. 2篇， Comput. Math. Appl. 1篇，J. Comput. Math.1篇。