非局部方程的高阶格式与多重网格算法

In recent decades, the research of the nonlocal equations (the fractional differential equations, the peridynamic model or the nonlocal problem) have been playing more and more important roles and developing rapidly. Because of the nonlocal properties of the nonlocal equations, obtaining the exact solutions of the nonlocal equations are more challenge or the analytical solutions are the transcendental functions or the infinite series, efficiently solving the nonlocal equations naturally becomes an urgent topic. Since both the first discretizing operators and the higher discretizing operators are full matrix or non-sparse matrix for the nonlocal operators, i.e., the striking feature is that higher order schemes of the nonlcal equations can keep the same computation cost with first order schemes but greatly improve the accuracy. On the other hand, for the nonlocal equations, the V-cycle multigrid method with fast Fourier transform can significantly lower the computational cost and storage of the linear solver, since the nonlocal operators are all Toeplitz -like matrices. The core object of this project is to design the higher order schemes and fast algorithms for the nonlocal equations. And the unconditional stability and the convergence with the global truncation error are theoretically proved and numerically verified. In particular, for the multigrid method of the nonlocal equations, the uniform convergence estimates of the V-cycle multigrid method are presented. Then we use the general frame of the multigrid method to analyze the differential equation with the local operator in space direction and the nonlocal or local operators in time direction.

近年来，非局部方程(分数阶微分方程、近场动力学模型或非局部问题)的研究得到快速的发展并被广泛应用于各学科领域。由于这类方程的非局部性质，获得解析解比较困难或解析解为无穷级数或超越函数，因此怎样高效的数值求解成为一个亟须突破的问题。一方面，由于非局部算子的一阶离散算子和高阶离散算子都是满矩阵或非稀疏矩阵，其显著的特征是：在保持相同计算量的条件下，高阶格式能够极大提高算法的精度。另一方面，由于这类方程的代数系统具有Toeplitz矩阵结构，我们可结合快速Fourier变换算法及多重网格法，进一步降低计算量及存储空间。本项目旨在：针对不同类型的非局部方程，设计高阶精度格式及快速算法，分析数值格式的稳定性、收敛性及误差估计等。特别是针对多重网格法理论分析的难点问题，我们将改进V-循环多重网格法一致收敛性理论的一般框架，并力图有效应用于空间方向为局部算子，时间方向为非局部或者局部算子型的微分方程中。

近年来，在力学、物理、生物化学、电气工程、材料科学、医学等学科的研究中，导出了大量的非局部方程(分数阶微分方程，近场动力学模型或非局部问题等)。由于这类方程的非局部性质，其一阶离散算子和高阶离散算子都是满矩阵或非稀疏矩阵，其显著的特征是：在保持相同计算量的条件下，高阶格式能够极大提高算法的精度。另一方面，由于这类方程的代数系统具有Toeplitz矩阵结构，我们可结合快速Fourier变换算法及多重网格法，进一步降低计算量及存储空间。本项目主要研究两个方面的内容：高精度算法和快速多重网格法。我们取得的重要结果和关键数据如下：(1) 针对多重网格法的理论分析结果有：利用简单的延拓算子，从代数多重网格法的角度建立经典的V-循环的多重网格法理论估计，并给出二维的时间依赖椭圆型方程的理论估计；对于非局部方程模型，建立二重网格法的理论分析，并对特殊的情形，给出full-多重网格法的理论估计；从几何多重网格法的角度，定义了分数阶 范数，进而证明了当时间步长 时，V-循环多重网格有限元法的一致收敛性估计。(2) 针对分数阶模型或非局部模型的高阶格式/算法设计有：构造时间Tempered分数阶Feynman-Kac方程的高阶算法，并在复数域空间中给出稳定性和收敛性分析；利用能量估计方法分析二维空间-Riesz 分数阶波动方程的稳定性和收敛性；研究空间-时间tempered 分数阶扩散-波动方程的二阶精度算法。这些高效、快速的算法为应用动力学系统的理论和数值模拟提供了有效的工具。