二阶非线性椭圆方程自适应有限元方法的多重网格算法

Multigrid algorithms have been used to solve the adaptive finite element equations effectively due to their advantages of optimal preconditiong and optimal or quasi-optimal computational complex. There are various results for linear differential equations. However, since the discrete equation is nonlinear, nonsymmetric and the corresponding variational problems don't satisfy the orthogonality, the research of the multigrid algorithms of adaptive finite element methods for nonlinear differential equations is a challenging task and there are very few results reported. . In this project, we will study the multigrid algorithms of adaptive conforming and discontinuous finite element methods for two-class important second order nonlinear elliptic equations. We will design the simple and easily computational multigrid preconditioners, prove the optimal preconditioning and optimal or quasi-optimal computational complexity of those algorithms. We will provide the numerical experiments to support our theoretical findings. The algorithms studied in this project are high performance algorithms to solve the discrete equations of adaptive finite element methods and results obtained will promote the level of application of the finite element method in practical computations of second order nonlinear elliptic equations.

多重网格算法具有最优预处理和最优或拟最优计算复杂性等优点，能高效地求解自适应有限元离散方程组。对于线性微分方程，已经取得丰富的研究结果。由于离散方程组的非线性、非对称性和相应变分问题的非正交性，非线性微分方程自适应有限元方法的多重网格算法的研究是一项具有挑战性的工作，目前研究结果还非常少。. 本项目将研究两类具有重要应用背景的二阶非线性椭圆方程自适应有限元方法和自适应间断有限元方法的多重网格算法。我们将设计简单易算的多重网格预条件子，证明它们具有最优预处理和最优或拟最优计算复杂性，给出支持理论结果的数值实验。本项目研究的算法是求解自适应有限元离散方程组的高性能算法，属国际前沿课题，研究成果将进一步提升有限元方法在非线性微分方程中的应用水平。

本项目主要围绕二阶非线性问题的有限元方法、有限体积元方法、间断有限元方法和两层网格算法的后验误差估计和自适应方法展开研究。.对于各种数值方法的后验误差估计，我们研究了二阶强非线性椭圆问题的hp间断Galerkin方法的后验误差估计、二阶非线性椭圆问题有限体积元方法的后验误差估计、抛物问题有限体积元方法的后验误差估计、一般二阶非线性椭圆问题两层网格有限元方法的后验误差估计、系数最低正则性假设下二阶非线性椭圆问题两层网格有限元方法的后验误差估计、二阶非线性抛物问题的有限体积元方法的后验误差估计、非线性椭圆问题两层网格有限体积元方法的后验误差估计、二阶抛物问题有限体积元方法的后验误差估计。. 在后验误差估计的研究中，我们设计了简单易算的误差估计子，从理论上证明了它们的有效性与可靠性，并给出了支持理论结果的数值实验。.对于各种数值方法的先验估计，我们主要研究了非线性Sobolev方程两层网格有限元方法、非线性Sobolev方程两层网格Crank-Nicolson有限元方法、四边形网格上椭圆问题的混合Wilson有限体积法、非线性抛物型积分微分方程的两层网格有限元方法、一维非线性抛物方程有限体积元方法的两层网格算法。此外，我们还研究了奇异摄动对流扩散问题的流线扩散有限元方法的最优阶误差估计、磁流体动力学方程的二阶无条件收敛性和能量稳定的线性化计算格式、磁流体力学方程无条件能量稳定投影格式的收敛性分析、磁流体力学方程无条件能量稳定和全解耦线性有限元离散格式。针对相场模型，我们研究了各向异性枝晶凝固相场模型、与流体动力学耦合的二元流体表面活性剂相场模型、各项异性Cahn–Hilliard模型的快速、无条件能量稳定的二阶精度格式。. 在各种数值方法的先验误差估计中，我们得到了最优阶的误差估计。. 我们的研究成果有16篇论文被SCI收录，至少有7篇论文发表在SCI二区期刊上。. 本项目的研究成果是自适应求解非线性椭圆方程的关键，研究成果将进一步提升非线性微分方程的数值求解。