复双曲空间上等距子群的离散性研究

The study on discreteness of isometric subgroups of PU(2,1) is one of the central topics in complex hyperbolic geometry, which is closely related to many areas, such as complex manifolds, dynamic system, Lie group and so on. The research on this project is about discreteness of subgroups of PU(2,1). Firstly, we take advantage of the definitions and basic properties of bisectors to study a new sufficient condition for a two-generator subgroup to be discrete. Furthermore, we will extend the result of two-generator groups to groups generated by n elements, where n>2. Then, we will give a new method to construct discrete groups, which will make up for the deficiency of traditional method. Finally, a discrete group of PU(2,1) will be found by taking advantage of the new technique.

复双曲空间上等距子群的离散性问题是复双曲几何中的一个重要研究内容，它与复流形、动力系统、李群等数学分支的研究有着紧密的联系。本项目将主要研究复双曲平面的全纯等距群PU(2,1)的子群的离散性。首先，我们将利用等分面研究PU(2,1)中二元生成子群离散的充分条件，并将这个结论推广到PU(2,1)的多元生成子群。然后，我们会给出构造PU(2,1)的离散子群的新方法，这个方法会弥补传统方法的不足。最后，利用这个新方法构造一个PU(2,1)的离散子群。

本项目主要围绕复双曲空间上等距子群的离散性问题展开研究。这个问题与群论、拟共形特殊函数、动力系统等数学分支的研究有着紧密的联系。首先，给出了构造PU(2,1)的离散子群的新方法，并利用这个方法构造一个PU(2,1)的离散子群。其次，研究了带有Korányi度量的Heisenberg群的等分面，证明了Korányi等分面都是脊椎球面；反之，每一个脊椎球面也都是Korányi等分面。同时，证明了如果Heisenberg群上的p1，p2在同一个无限C-circle上，则Korányi等分面是一个水平极小曲面。再次，针对拟共形特殊函数和广义椭圆积分的问题进行了研究，建立了一类高斯超几何函数的单调性和凹凸性定理、完全p-椭圆积分和第一类广义椭圆积分单调性定理，得到了广义Grötzsch环函数的有关不等式，同时解答了一个关于函数H(x)在(0,1)上的凹凸性的公开问题。最后，研究了控制工程背景下给定约束条件的复杂广义动力系统中微分方程组解函数的收敛性问题，得到了系统状态函数有限时间收敛有界的充分条件。