线性算子在多复变Dirichlet空间上的等距等价性

In this project, we want to study the properties of isometric equivalence of linear operators on the Dirichlet space of the poly-disc. The properties of composition operator, weighted composition operator and Toeplitz operator which are isometric equivalence will be studied. Also, the characteristic of the symbol functions will be obtained in this project. For the connection between the unit disk and the poly-disc, we want to give the connection between isometric equivalence on the disk and isometric equivalence on the poly-disc. We can regard weighted composition operator as a generalization of multiplication operators and a composition operator. So we will study the connection between weighted composition operator and composition operator.

本项目致力于研究单位多圆柱上Dirichlet空间中线性算子的等距等价性质，属于算子理论的研究范畴。我们将研究加权复合算子、复合算子以及Toeplitz算子在Dirichlet空间上的等距等价性质，得出两个算子满足等距等价关系时，相应的符号函数所满足的关系，并进一步得出单位圆盘上的等距等价性和单位多圆柱上的等距等价性之间的联系。一般而言，加权复合算子可以看做是由复合算子和乘积算子组成，因此加权复合算子的等距等价性和复合算子及乘积算子的等距等价性之间的关系也是本项目研究的重点内容。

本项目“线性算子在多复变Dirichlet空间上的等距等价性”属于算子理论与函数空间的研究范畴，主要研究线性算子在解析函数空间上的等距等价性质。我们研究了Dirichlet空间及Hardy空间上复合算子、乘积算子及加权复合算子是等距等价时符号函数所满足的性质以及三者之间的关系。我们得出Dirichlet空间上的两个复合算子只有在符号函数想等且是恒等映射时，它们才是等距等价的。同时我们得出了Hardy空间上的两个加权复合算子是等距等价当且仅当相应的复合算子和乘积算子也是等距等价的。最后我们还得出了作用在多圆柱上的复合算子是等距等价和作用在单位圆盘上的等距等价复合算子之间的关系。这为以后进一步的研究解析函数空间上的等距算子的相应性质提供了一定的参考对象，具有一定的理论意义。