若干几何流在医学图像处理中的应用

本项目以几何分析中热方法为手段，深入研究黎曼流形中的一些几何热流，在几何热流的框架下，试图将曲率流、特别是Beltrami流等一些重要的几何热流应用于医学图像处理。运用纤维丛的概念去理解图像，将其视为某纤维丛中的一个截面，图像优化的问题就转化为求解以截面为自变量的某个变分泛函的极值问题。泛函表达式中常会涉及到截面的一些范数，而范数依赖于纤维丛上所给出的度量，如果允许底流形度量也可变动地选取，而并非一定是欧氏度量，这样就可进一步提高截面（即图像）优化的效果。我们用这种所谓Beltrami流的框架为主导，以医学图像为应用背景，系统研究各种图像处理问题，包括图像去噪、去模糊、图像分割、图像修补、图像融合等。在提出行之有效的数学模型的同时，我们将注重这些实际课题在数学上的严密性，研究相应的Beltrami热流方程的解的存在性、唯一性和稳定性等问题。

本项目以几何变分为主要手段，深入研究了将流形元素作为变分对象时的理论与算法实现，并应用于医学图像处理等领域。在医学影像的处理方面，不论是做脑功能分区，还是借助于已有的病人数据来自动诊断疾病，以及异质数据的融合，都亟需解决不同影像之间的配准。然而，目前众多方法存在着仅适用于特定的几何形变，或对实际数据中噪声和异常点过于敏感的问题。为此，本项目建立了一套可推广性强的数据集间的配准方法。首先，就整体配准而言，数据集的配准可理解为求解变换群上的加‘权’的最小二乘问题。基于大多数的变换群都是李群，通过流形在单位元附近的指数映照将变换群上的最小二乘问题进行线性化，我们建立了一个内蕴的理论框架——变换群参数化方法，避免了直接变分可能导致变分的结果不在同一个流形上的情况。我们的方法的可推广性第一体现在它不仅适用于刚性、多尺度和仿射等各种几何形变，又为参数约束创造了可行性。同时从统计的角度，我们将点对的对应关系作为隐藏变量，并作为最小二乘问题的‘权’值，使得不光滑的因素尽量小地影响模型的准确性。这是我们的理论框架的第二大可推广性，即适用于带有噪声、重采样和异常点的数据集。此外，通过引入一个自适应的裁剪策略，我们提出了一个适用于低重叠的数据集的配准算法——LieTrICP算法。其次，针对局部形变，我们将线性配准问题推广到非线性的情形，形成了微分同胚群上的变分问题。在此基础上，我们结合微分同胚群的轨道上图像的分布信息，给出了克服有较大形变图像间配准的Hierarchical unbiased graph shrinkage算法。最后，我们探究了基于特征（例如图像轮廓）的配准方法。在对曲线流与曲率流的前期研究基础上，克服了传统的梯度下降流算法的局限性，改进了测地活动轮廓等分割模型的算法，例如Barzilai-Borwein等算法。我们将以上算法分别应用于各种维度的不同几何（整体）变换和局部形变，并应用于医学图像，特别是大脑MR结构图像的配准与标准化等问题之中。