非交换几何

In this project, we plan to study two types of problems in Noncommutative Geometry. The first is noncommutative index theory, especially applications of functional analytical methods in topology. The other is the study of some discrete spaces which have important applications in noncommutative geometry and related fields. These problems are at the frontier of the current research in NCG, and have important applications in geometry, topology and analysis.

本项目计划研究非交换几何中两类课题，一类是非交换指标理论，特别是泛函分析方法在拓扑中的应用，另一类是研究一些在非交换几何及相关领域中有重要应用的离散度量空间。这些课题是目前“非交换几何”国际前沿的热点研究问题,在几何、拓扑、分析等领域具有重要应用。

本项目经过四年的研究，在非交换指标理论方面取得了重要的进展。在计算非紧完备黎曼流形的高指标方面, 我们提出了一些新的嵌入概念，发展了K-群新的算法，并在正标量曲率存在性问题上有了新的应用; 在高rho不变量的研究方面, 我们与合作者讨论了高rho不变量和非局部eta不变量等一些在几何上有重要意义的示性类之间的关系，给出了包括Atiyah-Patodi-Singer指标定理推广的一系列成果; 在拟局部性质的研究方面, 我们与合作者提出了一类全新的算子代数，称为强拟局部代数，提出了相应的强拟局部粗Baum-Connes猜想和强拟局部粗Novikov猜想, 并在一些条件下证明了这两个猜想成立。