非交换几何及其应用

In this project, we will study the properties of noncommutative.spaces by using the various tools in algebra, topology and analysis. Our research.themes include index theory, operator algebras and geometric group theory. We plan.to study in fibred coarse embedding of metric spaces with Property H into Banach.spaces, and to define in a uniform way smooth subalgebras of Roe algebras, then to.use tools like cyclic cohomology to extract useful propoerties. We will also study the representations of Roe algebras, and the higher index theory at the presence of a discrete group action. Meanwhile, we will study several problems in related areas: geometric similarity invariants of geometric operators over holomorphic bundles, the spectral theory of certain operators related to irrational rotation algebra, the amenability of Thompson's group F, the isomorphic invariants of AH-algebras, and residually finite groups (and their box spaces). These topics are of great interest at the forefront of current research in operator algebras and noncommutative geometry. They have many important applications in geometry, topology and analysis.

我们将融合代数、拓扑和分析中的各种工具来研究非交换空间的性质，研究内.容主要涉及指标理论、算子代数、算子理论以及几何群论。我们将研究度量空间纤维化粗嵌入到Banach 空间的性质，并以一种统一的方式定义Roe 代数的一种光滑子代数，利用循环上同调理论等工具加以研究讨论，研究Roe代数的表示理论， 以及离散群作用下的高指标理论。同时，我们还将研究建立在全纯丛上的几何算子的几何相似不变量，无理旋转代数相关的特殊算子的谱理论，AH代数的同构不变量，以及?Thompson群F的顺从性和剩余有限群及其盒空间等相关问题。这些研究内容是目前算子代数与非交换几何前沿领域的热点问题，在几何、拓扑、分析等领域中具有重要应用。

本项目经过五年的研究，在粗化Baum-Connes猜想以及相关的粗化Novikov猜想、具有离散群作用的非紧度量空间的几何性质与等变高指标问题方面取得了重要成果，特别在Banach空间性质（H）的研究取得了可喜的成果，证明了纤维化粗嵌入这类Banach空间的度量空间上的粗Novikov猜想。这是对粗Novikov猜想目前成立最为广泛的结果。在Roe代数的光滑子代数方面，也取得了积极的进展。在与复几何相关的几何算子研究以及无理旋转代数的几何结构和相关代数、算子的研究方面，我们也顺利地完成了研究计划。Thompson群的难度较大，近年国际上基本没有实质性的进展。我们在Thompson群的结构与性质方面，取得了一些成果。但是离实质性的目标还是有距离。另一方面，我们在高指标理论的方面取得了重要的进展，引入了新的嵌入观念和方法---碎片式嵌入和可控嵌入，这些观念不仅发展了粗嵌入的概念，而且具有相当的广泛性。使用这种新的嵌入观念和方法，我们研究了商代数下的高指标理论和无穷远处的高指标理论，并在几何和拓扑的应用中有了新的进展。