复动力系统若干问题研究

本课题研究复动力系统中的若干问题. 复动力系统是当前国际上数学研究的热点之一, 其主要问题包括双曲猜想与Julia集的结构, 而双曲猜想的关键在于无穷次可重整化的二次多项式. 我们将研究与此有关的一些问题, 其中包括: 不连通Julia集的游荡分支的拓扑结构, 多项式有界Fatou分支以及Newton迭代Fatou分支的拓扑性质; 对Julia集完全不连通的情形研究其不变线域,Huasdorff 维数及测度; 利用Parabolic -implosion 手术方法研究Shishikura 的抛物点的重整化理论; 研究双曲分支的有界性以及cusp点的稠密性；有理函数Julia集的组合结构；超越整函数的游荡域；Circle Packing与Teichmuller空间理论。

圆满完成研究计划。在复动力系统的研究上取得实质进展：证明了Branner-Hubbard猜想，即多项式游荡Julia分支为单点；证明多项式的有界吸性域和抛物域都是若当区域；在几何有限的情形证明了Thurston型定理；并利用Shishikura树构造出反例说明几何有限有理函数的复杂型Julia循环的个数不依赖于其映射度；研究了临界有限有理函数的Julia集的结构，证明具有Cantor Multicurve 的充分必要条件是具有分离型游荡连续统, 并证明在这个条件下存在环域覆盖系统，且其Julia集可以重整化。建立了从多项式出发构造有理函数的一种新的手术方法-Folding，并证明在一定条件下它可以实现为有理函数；对具有Cantor型Julia集的有理函数证明了刚性定理和双曲性猜想；研究了McMullen有理函数族的Julia集的拓扑，证明了无穷远点的直接吸引域如果是单连通的，则其边界是一条Jordan曲线，此结论回答了Devaney提出的一个公开问题。我们在p-adic动力系统，Circle-packing, 拟共形映射等方面也取得了一些进展。