求解Duffing方程的最优化方法

非线性微分方程因其涉及的领域广泛而倍受人们关注,而对于微分方程周期解的研究,也正逐步成为人们的研究热点之一。不仅因为微分方程周期解问题表征了一些周期性运动,同时它也可以近似的刻画一些非周期运动。目前在对各种微分方程周期解的研究中,Duffing方程周期解的问题也引起了国内外众多学者的关注。本项目基于优化方法与微分方程求解相结合的思想,主要研究Duffing方程周期解在非共振条件下的存在唯一性,将求解微分方程周期解问题转化为求解无约束优化问题,再应用求解无约束优化问题的内点法来求解相应的Duffing方程的周期解,并通过数值算例来验证该方法的可行性和适用性。

微分方程作为现代数学的一个重要分支，在科学研究领域有着非常广泛的应用。而微分方程理论的主要任务就是求解和确定解的各种属性. 在对各种微分方程周期解的研究中, Duffing方程周期解的问题正成为人们的研究热点。随着人们对Duffing方程周期解存在唯一性的不断深入研究, 求解这类问题的方法也越来越多元化，其中包括最优控制理论, 非线性泛函分析, 同伦算法等等。而将优化方法与求周期解问题相结合则是一个新的研究方向，并已成为人们广泛关注的研究课题。其中一个比较典型的结果是:2009年，冯子玹等人通过使用拟牛顿法得到了Duffing方程和Lienard型方程的周期解，利用周期解与无约束优化问题之间的转化，说明用优化方法寻找周期解的可行性，进而利用求解优化问题的拟牛顿法来找到微分方程的周期解， 也正是由于该方法的初次成功, 使得项目组根据本项目立项的基本要求和目标, 对这个方向加以研究和推广。在项目研究的前期, 主要进行的是查阅大量国内外最新的相关文献资料, 并得到最新的研究进展, 然后在每周一次的讨论班中进行学习与讨论, 从而掌握了最新的理论依据. 在项目研究的中期, 主要研究了各种微分方程周期解的问题,特别针对本项目的研究目标研究了Duffing方程周期解在非共振条件下的存在唯一性,通过将优化方法与微分方程求解相结合的思路, 尝试了将求解微分方程周期解问题转化为无约束优化问题, 并利用优化方法特别是其中的内点法和Levenberg-Marquardt方法来得到微分方程的周期解. 与些同时我们还研究了路径跟踪算法中的组合同伦内点法, 对广义法锥条件进行了分析和改进,也尝试着将其运用到求解Duffing方程周期解的问题中.在项目研究的后期, 力求将所研究的新方法推广到Lienard型方程和高阶微分方程周期解的求解问题中. 在我们的研究过程中, 能够成功地把求解微分方程周期解问题转化为无约束优化问题, 通过优化方法中的内点法和Levenberg-Marquardt方法得到了微分方程的周期解, 这为以后高阶微分方程周期解的研究起到了推动的作用.