一些q-特殊函数的研究

Special functions can be defined as useful mathematical functions appearing frequently in science and engineering. They are roughly classfied into two categories, the classic special functions and q-special functions. The most noticeable examples for the classical special functions are Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Airy functions and Bessel functions etc. q-Special functions are the generalizations to classical special functions, they include Stieltjes-Wigert polynomials, q-Laguerre polynomials, q^(-1)-Hermite polynomials, Ramanujan's entire function(a.k.a q-Airy function) and q-Bessel functions etc. Their formulas and asymptotics have been critical to the success of many projects in science and engineering.In this project we employ Fourier transforms，calculus of residues and direct series manipulation to derive a wide range of formulas for Stieltjes-Wigert polynomials,q-Laguerre polynomials, q^(-1)-Hermite polynomials, Ramanujan's entire function and q-Bessel functions, we study their asymptotics from their new integral representations, and we also apply the obtained formulas and asymptotics to some problems arising from current researches in combinatorics and stochastic processes.

特殊函数是那些在科学工程中经常出现而且非常有用的数学函数,它包括经典特殊函数和q-特殊函数,后者是对前者的推广。正交多项式如Hermite、Laguerre、Stieltjes-Wigert、q-Laguerre、q^(-1）-Hermite 以及 Airy、Bessel、Ramanujan 整函数（曾用名q-Airy 函数）和q-Bessel 都是特殊函数的例子。它们的公式和渐近性质一直是科学家和工程师所关注的重要问题。此项目将采用Fourier 变换、留数定理和级数变换等方法系统地推导有关Stieltjes Wigert 多项式、q-Laguerre 多项式、q^(-1）-Hermite 多项式、Ramanujan 整函数和q-Bessel 函数等函数所满足的公式，通过新的积分表达式直接研究这些函数的渐近性质，并将其中的一些公式和渐近性质应用于处理组合数学和随机过程.

特殊函数是科学工程中被广泛应用的数学函数特殊函数包括经典特殊函数、q-特殊函数（后者是对前者的推广）。它们包括椭圆函数、 西塔-函数、泽塔-函数、 Hermite多项式、Laguerre多项式、Stieltjes-Wigert多项式、 Airy函数、Bessel函数以及Ramanujan 函数(曾用名q-Airy 函数)等，都是常见的特殊函数。特殊函数一直作为主要内容出现在世界著名的数学手册里，特殊函数所满足的公式和渐近性质的研究成果，可以实际运用于解决国家建设中出现的问题，是推动国民经济进一步发展的潜在力量。因而，许多发达国家的科学家和工程师们一直密切关注着特殊函数研究动向。本项目应用了实分析、复分析、泛函分析、调和分析中的方法以及计算机技术（使用的软件有：Mathematica, Maple, Sage/Python, 运算方式包括形式的、数值的和图形显示），系统地研究、发现了多种q-特殊函数，特别是Stieltjes-Wigert 多项式、q-Laguerre 多项式、q^(-1)-Hermite 多项式、Ramanujan 函数和q-Bessel 函数等所满足的新积分、无限级数的公式。进一步研究并发现了平面上的多族正交多项式，特别是两族q-正交多项式。这两族新q-正交多项式是对物理中Zernike正交多项式和数论、组合数学中Crank生成函数的多方面的推广，这一新发现是特殊函数领域的一个新突破。与此同时，本项目也为后续特殊函数领域的相关项目，以及与大数据和人工智能相关的高性能计算提供了基础。