多维斜反射倒向随机微分方程及最优转换和停止问题

Backward stochastic differential equations (BSDEs for short) and their related theories, with more than two decades of rapid developments, have become one of the leading-edge and hot subject in the fields of probability, stochastic analysis and mathematical finance. This project mainly concerns the topics of BSDEs with reflection and their application to optimal switching and stopping problem. We will establish the monotonic limit theory for BSDEs on a general time interval which may be finite or infinite and obtain some basic results about the multi-dimensional obliquely reflected BSDEs on general time interval and under uncertainty, such as existence and uniqueness of their solutions. When these works finished, we begin to solve the problem of optimal switching and stopping on a general time interval and then with “uncertainty volatility” . The applicant started to study the theory of BSDEs, during graduate student period and have a better understanding about this filed. Our team expects to obtain some results with higher theory value, and use them to solve or explain the general optimal switching and stopping problem in stochastic control.

倒向随机微分方程及相关理论，在最近二十多年来发展迅速，现已成为概率论与随机分析、金融数学领域的前沿课题和研究热点之一。本项目旨在研究带限制的反射倒向随机微分方程理论及最优转换与停止问题：建立有限或无限一般时间区间倒向随机微分方程的单调极限定理，并得到一般时间区间和不确定框架下多维斜反射倒向随机微分方程解的存在唯一性等基本结果；解决无穷时间区间上和“不确定波动率”模型下的最优转换与停止问题。申请人一直以倒向随机微分方程为主要研究方向，对该课题有较为深入的理解。项目组预期得到一批有较高理论价值的研究成果，并用这些理论成果去解决（解释）一般的最优转换和停止问题。

本项目围绕反射倒向随机微分方程中的基础问题“解的存在唯一性”展开研究，综合应用该领域里的多种方法与技术，得到了涉及倒向随机微分方程基本理论与应用问题的一系列研究结果。我们首先发展了倒向随机微分方程的单调极限定理，建立了一般时间区间上 L^p (1<p≤2) 半鞅序列的单调极限定理。进而借助该结果，得到了一般框架下g-上鞅的Doob-Meyer分解；同时我们对一般区间上的的动态相容性非线性算子做了系统研究，证明了无穷区间上域流相容的受控非线性算子一定是一个 g-期望。关于一般区间上带有可积障碍连续且线性增长生成元的反射倒向随机微分方程, 我们证明了一维情形下解的存在唯一性定理和比较定理，获得了一般区间多维斜反射倒向随机微分方程解的存在唯一性结果。一般框架下的多维斜反射倒向随机微分方程适定性的建立，为一大类无穷时间区间上允许提前退出和财富依赖的多模式最优转换问题的解决提供了工具。我们完成了本项目预先制定的主要研究计划与研究工作任务。