几类材料微结构模型中非线性偏微分方程的高效计算方法

We develop efficient numerical methods for the time-dependent Ginzburg-Landau equations in the superconductivity model and Landau-Lifshitz equations in the micromagnetics model.These two equation systems are both nonlinear and parabolic. Numerical simulations of these models require reliable and efficient methods. In this research project, the investigator will try to design efficient numerical methods for the Ginzburg-Landau equations which can preserve |ψ_h|≤1 at the discrete level.This project will develop finite element methods for the Landau-Lifshitz equations which satisfy |m_h|=1 on the mesh nodes. These properties are crucial to ensure that numerical solutions are correct.Rigorous stability and convergence analysis will be conducted. This research project may provide new methods in the computation of the microstructure of materials.

本项目主要研究几类材料微结构模型中非线性偏微分方程的高效数值计算。我们主要关注超导模型中的动态金兹堡-朗道(Ginzburg-Landau)方程和微磁学模型中的朗道-利夫希兹(Landau-Lifshitz)方程。这两类方程在工业生产中具有重要的应用价值。金兹堡-朗道方程是描述超导现象的相场模型，该方程满足|ψ|≤1。开发高效保真的计算方法及严格论证算法收敛性和稳定性具有重要意义。对超导问题，本研究项目将致力于发展满足序参数模小于等于1的算法，也即|ψ_h|≤1。我们将结合使用Nedelec棱元以及线性化的时间离散。对于微磁学模型中的朗道-利夫希兹方程的数值计算，本项目将发展满足|m_h|=1的有限元格式。我们将严格分析这些新格式的稳定性和收敛性。我们期望这个项目的研究结果能为材料微结构模型的高效数值计算提供新的工具。

材料微结构数学模型的应用十分广泛，其理论研究和数值分析极为重要。本项目深入研究了几类材料微结构模型中的非线性抛物方程组的高效数值求解问题。本课题的研究对超导模型的数值模拟、微磁学方程的算法研究起到了促进作用。项目的代表性研究成果包括：(1)给出了超导模型中Ginzburg-Landau方程的最低阶混合有限元方法的最优误差估计，建立了规范不变格式与Nedelec棱元的等价性，并验证规范不变格式适用于含有奇性的问题；(2)针对微磁学中的Landau-Lifshitz方程，本项目严格分析了一类保持模长的投影差分算法；(3)针对不可压磁流体力学方程的数值计算，本项目发展了能量下降的混合元方法，通过使用负范数估计技巧，我们严格证明了使用低一阶的有限元空间来计算磁场变量不会显著降低流场方程的数值精度；(4)发展了Raviart-Thomas混合元的理论及其在热敏电阻微结构模型中的应用。