CAD中综合性样条的理论及应用研究

本项目研究综合性样条的理论与应用。综合性样条是近年来才出现的样条的新品种，其特点是兼有多样性与简便性。多样性指一条样条曲线上有多种类型的曲线段存在；简便性指样条曲线的求导要简单，计算要稳定、方便。NURBS具有多样性，但不具备简便性；B样条虽有简便性，但缺少多样性。相比之下，综合性样条的优点是突出的。本项目的研究难点，在于综合性样条定义空间的构造,无现成研究样条的方法可循。为此，本项目首先要创造新方法，构造该空间。该空间要具有联合性与可变性。联合性要求该空间能融合多个空间于一个整体；可变性能使综合性样条曲线曲面可以从其中的一个空间变到另外一个空间。其次要在该空间中构造具有权性，局部支撑性的B基。该基应具有可变性。通过可变性统一多样性和简便性，最后，要研究综合性样条曲线曲面的性质，发扬多样性、利用简便性，建立富有特色的理论体系，要设计高效算法，使其在CAD和逆向工程应用中发挥巨大的作用。

本项目围绕综合性样条的特性，对CAD中的曲线曲面进行了深入而广泛的研究，发展了若干经典理论，提出了新方法。.在曲线研究方面，注重发挥综合性样条的多样性和简便性的特性，也重视发掘它的几何特性。首先，吸取了Lengdre理论的精华，把以Bernstein函数为基础的正交多项式的构造方法，加以深化，并将其推广到综合性样条，用作构造以综合性的UE-Bézier基为基础的拟Lengdre正交多项式；再推广到B样条空间，用作构造以样条函数为基础的具有显式表示的一组Lengdre型的正交基，从而丰富了Lengdre方法的内容。其次，从提取多项式全正性的几何要素着手，运用几何方法，发现了NUAT-B样条、综合性UE样条都具有全正性，进而具有近乎严格的全正性，并给出了简单、直观、初等的证明方法，从而扩大了全正基的范围，充实了全正性的理论。用变次数B样条的观点，审视C-B样条和综合性UE样条曲线的升阶过程，提出了升阶算子，由此克服升阶不能分段进行的困难，揭示其间隐含几何意义，解决了升阶矩阵的二对角随机矩阵的分解难题，为矩阵的分解提供了直观的有效的几何方法等。.在曲面研究方面，着重研究了用非多项式的函数构造三角域上曲面时所需要的定义空间，在三角域上建立多类型的三角曲面片理论，以改变仅用二元多项式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定义P-Bézier基函数的一元三角函数线性空间，推广到二元函数，构造二元的线性三角函数的空间，建立具有权性、对称性、边界性的二元线性拟P-Bézier型的基函数。由此，定义边界是P-Bézier曲线的拟P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制网格的方法表示三角域上由三角函数刻划的曲面片。接着，把四阶C-Bézier基的一元混合函数定义空间，也推广到二元混合函数，构造了一组与二元三次Bernstein多项式有相同的权性，端点性的基函数，从而定义了三角域上的四阶拟Bézier曲面，可以插值角点，无需用有理的形式，以圆弧作边界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圆弧边界不足。又进一步为了球的表示，将二元线性拟P-Bézier型基发展为P-Bézier型的三角域上的五阶的P-Bézier基，可以用三角形的控制网格表示球面片和整个球。.此外，在极小曲面、PH曲线、变次数样条显式表示、迭代逼近算法、图像处理、图形模拟等方面开展了研究，取得了不少成果。