非齐次随机图上的极限理论研究

Random graph theory is a highly efficient approach for analyzing complex networks, and the limit theory on random graphs is an important branch of probability limit theory. The traditional research on the limit theory of random graphs focuses on homogeneous random graphs. In practice, however, homogeneous random graphs are usually not very good at simulating real complex networks. By modifying the connection probability between different nodes, inhomogeneous random graphs can generate network graphs similar to the real network environment. Inhomogeneous random graph is widely used in the field of complex networks, but, in contrast to the traditional study of limit theory on homogeneous random graphs, the study of limit theory on inhomogeneous random graphs is still in the initial stage. In this project, I intend to advance the study of limit theory on inhomogeneous random graphs from two aspects. On the one hand, by combining the traditional random graph theory and probability limit theory, calculate and analyze the probability limit behavior of the number of topological structures on inhomogeneous random graphs; On the other hand, using traditional graph theory analysis and large deviation theory, calculate the large deviation principles for some important empirical measures on inhomogeneous random graphs, the results are then utilized to calculate the large deviation principles for the number of some important topological structures.

随机图论是一种高效的研究复杂网络的理论方法，而随机图上的极限理论更是概率论极限理论领域中的一个重要分支。传统的随机图极限理论研究一般集中在齐次随机图上，然而在实际应用中，齐次随机图通常不能很好的模拟真实的复杂网络环境。非齐次随机图通过修正点与点之间的连接概率，进而可以生成与真实网络环境相似的网络图。非齐次随机图在复杂网络领域里的应用十分广泛，但是，相比于传统的齐次随机图上的极限理论研究，非齐次随机图上的极限理论研究还处在初始阶段。在本项目中，拟从两方面推进非齐次随机图上的极限理论研究。一方面，通过结合传统的随机图论和概率论极限理论方法，计算和分析非齐次随机图上一些拓扑结构数量的概率极限行为；另一方面，利用传统的图论分析手法和大偏差理论技术，计算非齐次随机图上一些重要经验测度的大偏差原则，进而计算其上一些重要拓扑结构数量的大偏差原则。

近些年来，随机图领域主要研究的对象是连结概率一致的简单随机图，然而简单随机图在实际的复杂网络应用效果并不理想。本项目主要研究连结概率不一致的非齐次随机图上的极限理论。该研究涉及多个学科，如概率极限理论、组合数学、复杂网络等。本项目的主要研究内容分为三项：1.非齐次随机图上三角形数量的收敛性研究。2.非齐次随机图中一些经验测度的大偏差理论研究。3.非齐次随机图上一些重要拓扑结构数量的大偏差。到目前为止，关于非齐次随机图中三角形数量弱收敛的极限定理，我们可以给出一种成熟的高阶矩证明方法。利用混合大偏差理论，我们计算了非齐次随机图上几种重要经验测度的大偏差原则，并利用该结果进一步的得出非齐次随机图上经验度分布的大偏差速率的变分表示。受到上述极限理论方法的启发，我们同时计算了二分图上Potts自旋系统的自由能的极限和波动性，取得了不错的结果。本项目的理论结果可以很好的应用在随机图和复杂网络领域，例如其中的三角形的弱收敛结果可以很好的应用在复杂网络图间比较算法上，而非齐次随机图上经验测度的大偏差理论可以用来计算某些图上自旋系统的自由能。