基于重心插值的椭圆算子特征值问题的高精度算法

Eigenvalue problems of elliptic operators arise in a tremendous variety of applications, e.g., the vibration of plates and beams, the buckling of columns and shells, the structural dynamics of vehicles. Because very few of them can be solved exactly, the numerical methods become powerful tools to solve them. In practice, due to the limitation of the computer's speed and memory, how to compute the eigenvalues with high accuracy is a very important issue for the applied mathematicians and engineers. In this project, we will construct a high-accuracy algorithm for the eigenvalues of elliptic operators based on the barycentric interpolation. This algorithm has a high accuracy for the eigenvalues of elliptic operators not only on the regular domain but also on the irregular domain. Next, we will present an analysis of the convergence rate of this high-accuracy algorithm in mathematical theory. At last, this high-accuracy algorithm will be applied to the field of scientific and engineering computing, such as the vibration of the plate and the shell, the dynamics of vehicles and structures and the building structure response to wind and earthquake excitation.

椭圆算子特征值问题广泛出现在各类工程计算的应用中，比如板和梁的振动，柱和壳的屈曲，车辆结构动力学分析。由于绝大多数的椭圆算子特征值问题都不能精确求解，数值方法成为了求解它们的有力工具。在实际科学计算中，因为受到计算机运算速度和内存的限制，如何高精度的求解椭圆算子特征值问题就成为了应用数学家和工程师们非常关心的一个重要课题。在这个项目中，我们将构造基于重心插值的椭圆算子特征值问题的高精度算法。这种算法对于在规则区域和不规则区域上的椭圆算子特征值问题都具有高逼近性。然后，我们将在数学理论上给出这种高精度算法的收敛阶分析。最后，我们把这种高精度数值算法推广运用到科学与工程计算的领域中，比如板壳振动，车辆结构动力学以及建筑在外界激励(风,地震)的动态响应等。

椭圆算子特征值问题在现代科学中有着至关重要的作用，它广泛地出现在力学、物理、化学等自然科学的研究中，本项目针对椭圆算子特征值问题的数值方法开展了一系列研究，重点研究了非协调有限元方法，自适应有限元方法以及重心插值配点方法求解椭圆算子特征值问题的高精度数值算法；本项目还研究了一类时间二阶发展型变分不等式和一类抛物发展型变分不等式的无单元Galerkin方法及其收敛性分析，以及无单元Galerkin方法在界面问题和Tresca摩擦条件下的具损伤粘弹性拟静态摩擦接触问题中的应用；最后，本项目还研究了四阶障碍问题和具粘合的粘弹性动态无摩擦接触问题的重心插值配点法。具体研究成果包括：(1)我们首先给出了通过构造非协调有限元进而获得椭圆算子特征值下界的方法。接着给出了通过非协调元离散特征函数的投影平均插值算子得到特征值上界的简单方法并证明了所得到的特征值上界将收敛到精确特征值。最后，我们通过特征值的上下界构造高精度数值算法获得高精度的特征值。另外，对于空腔流振动频率的特征值问题，我们证明了自适应有限元方法的拟最优性。此外，我们还用重心插值配点法求解了一些工程中的振动问题。(2)我们讨论了一类关于时间二阶导数的发展变分不等式和一类抛物发展型变分不等式的无单元Galerkin方法及其收敛性分析。我们证明了计算格式的收敛性并给出了其收敛阶估计；我们把无单元Galerkin方法和浸入界面方法相结合，给出了无单元Galerkin方法在处理界面问题的具体数值格式；我们还研究了Tresca摩擦条件下的具损伤粘弹性拟静态摩擦接触问题，给出了问题的发展型变分不等式形式。用移动最小二乘方法以及向前差分法分别近似位移场以及时间的导数，得到了问题的无单元Galerkin方法全离散格式，给出了无单元Galerkin方法的收敛性估计。(3) 我们研究了一类四阶椭圆变分不等式描述的障碍问题。通过对偶方法将较为复杂的四阶障碍问题转换为迭代的重调和问题，由此构造了对应的重心插值配点法；我们还研究了具粘弹性动态无摩擦接触问题。该接触受限于粘合场的影响，通过对时间采用有限差分法，空间采用重心插值配点法，构造了求解该动态模型的数值方法。