亚力山大空间及度量几何相关的一些问题

整体黎曼几何以及Ricci 曲率流在近年来的发展使得Alexandrov 空间的研究变得十分重要。对Alexandrov 空间各种性质的了解将会加深人们对于黎曼流形本身的认识。..本项目将利用距离函数的临界点理论以及半凹函数的梯度流并结合带有奇性的微分方程等工具去研究Alexandrov 空间的几何与分析性质，讨论它们对于黎曼流形的几何与拓扑性质的应用。本项目的主要研究内容为：..1. 曲率有下界的Alexandrov 空间上的灵魂（Soul）定理；.2. Alexandrov 空间和黎曼流形的Lipschitz 稳定性；.3. 半凹函数的梯度流与坍缩流形的拓扑性质；.4. Alexandrov 空间上调和函数和调和映照的局部形态。

近年来, 带有奇性的空间, 例如Alexandrov空间上的几何分析发展很快。研究此类空间的一个基本方法是考察它上面的自然函数（距离函数）的行为。在Alexandrov空间上，距离函数是半凹函数，它们对获取空间的几何与拓扑性质起到了总要作用。同样的方法亦可以用来研究光滑黎曼流形。..最近，人们对几何流的兴趣也很大。几何流常用来研究流形上典则度量的存在性。对于流来说，一个基本的量就是熵，比如经典的Boltzmann-Shannon熵以及更近一段时期Perelman对Ricci流定义的熵。研究流的另一基本工具是Harnack不等式。..在本项目中，我们研究如下课题：1）通过凸性研究Alexandrov空间或光滑流形的几何拓扑性质；2）在Lipschitz映射下Alexandrov空间的稳定性质；3）Kahler 流形上典则度量相关的问题；4）一般几何流中的熵和Harnack不等式。..我们获得了如下主要结果：..1）在非正曲率完备流形上，我们证明单射半径函数是Lipschitz函数；更一般地，在曲率有上界的完备流形上，我们证明单射半径函数基本上是Lipschitz的。..2）我们得到了只依赖于局部单射半径和局部曲率的凸半径估计，这给出了经典的Whitehead关于凸邻域定理的精确局部版本。..3）我们将Perelman的稳定性定理推广到了一类 e^ε-Lipschitz 和co-Lipschitz映射，作为应用我们得到了关于一列ε-黎曼淹没的稳定性结果。..4）我们在具有爆破点的Kahler曲面上证明了经典Futaki不变量的展开公式，这解释了Arezzo-Pacard的平衡条件。..5）我们对紧Kahler流形上一般Kahler类中K-能量的逆紧性给出了判别条件。..6）我们在环流形上研究了J-流的长时间行为。通过引入转移映射得到了J-流的半线性抛物系统，并对转移映射证明了一些基本的估计。..7）对一般流形上的演化方程，我们对其共轭热方程决定了经典Boltzmann-Shannon的前两个导数，熵的单调性对许多重要的流形类都成立。..8）对于非线性倒退热方程，我们推导了几种微分Harnack估计。我们的抽象叙述对许多已知结果提供了统一框架，并进一步对一些几何流得到了新的Harnack不等式。