临界点理论与变分问题

In this project we will apply the critical point theory to study the existence and multiplicity of solutions to some variational problems as well as the analysis and topological properties of the solutions. We will focus on two classes of variational problems. The first one is the elliptic variational problem on bounded domain. We will use Morse theory to study the existence and multiplicity of solutions to semilinear nonlocal variational problems and to quasilinear elliptic variational problems. The second one is the variational problems related to Schrodinger equations on the unbounded domain or the whole space. We will study the Sobolev type embedding theorems on weighted function spaces, and then we study the existence of ground state solutions and bounded state solutions for the quasilinear ellptic equations with singular weights on the unbounded domain or the whole space; we will build some critical point theorm for continuous, nondifferential functional, and then we study quasilinear schrodinger equations with singular weights and discontinuous nonlinearity. The problems we focus on in the project are new topic and new phenomenon coming from our past researches on the related variational problem. These problems are of challenging and of fundamentality. We hope to get some developments on the critical point theory and applications through the research on these variational problems.

本项目将应用临界点理论研究变分问题的可解性、多解性以及解的拓扑和分析性态。我们将关注两类变分问题。一类有界区域上的椭圆变分问题。我们将应用Morse理论研究半线性非局部变分问题和拟线性椭圆型变分问题的可解性和多解性。另一类是全空间或无界区域上与薛定谔方程相关的变分问题。我们将研究加权函数空间上Sobolev型嵌入定理，研究全空间上或无界区域上带有奇异权函数的拟线性椭圆方程的基态解、束缚态解的存在性与相关性质，建立连续非可微泛函的临界点定理，研究全空间上带有奇异加权函数和不连续非线性项的拟线性薛定谔型方程。本项目所关注的问题是近年来我们在研究相关变分问题中出现的新现象新课题，具有挑战性和基础性。我们期望通过对这些变分问题的研究，推进临界点理论及其应用的发展。

本项目应用Morse理论、极大极小方法、指标理论、分歧理论、嵌入理论等非线性分析的理论和方法，先后对半线性非局部变分问题（分数阶椭圆方程）、椭圆型方程强制问题、基尔霍夫型方程、拟线性薛定谔-泊松方程、带有线性耦合的薛定谔方程系统、加权临界指数问题与带有无界和衰减位势的拟线性薛定谔方程等非线性变分问题开展了研究，得到了一系列创新性的研究结果。这些研究成果，揭示了具体变分问题的新现象，延拓和扩展的研究课题的范围，发展了变分方法的新理论，开辟了新的研究课题。..本项目在以下方面的研究中取得重要成果。（一）、完整给出强制椭圆方程六个非平凡解的存在性，为该类问题研究填补了空白。（二）、修正重建临界群同伦不变定理，为研究半线性变分问题提供了新的抽象工具，发展了应用。（三）、首次把Morse理论应用于线性耦合椭圆系统多解，这是最新的成果。（四）把Morse理论的应用推进到基尔霍夫方程问题上。（五）、确定带权Sobolev嵌入的加权临界指数，开辟了相关新研究课题。（六）、开辟了拟线性薛定谔-泊松系统的研究。..项目所获得的研究成果形成了高质量的学术论文，在14种国际重要学术期刊上发表了23篇，其中SCI期刊论文22篇。研究成果被受到了国际同行的关注和引用。项目的实施促进了学术梯队的建设和高级研究人才的培养，参加项目的年轻学者在学术上有了显著的进步。