时滞反应扩散方程与积分差分方程的自由边界问题及其应用

Free boundary problems arise in many fields in science and technology. Although there have been relatively comprehensive theories and approaches to the research on free boundary problems for reaction diffusion equations, the researches on such problems for delayed reaction diffusion equations and integrodifference equations are still at the beginning stage. In this project, we will systematically study free boundary problems for delayed reaction diffusion equations and integrodifference equations by applying comprehensively the theory of delayed reaction diffusion equations, integrodifference equations, operator semigroup, monotone dynamical systems and nonlinear analysis and explore some new approaches and develop some new theories. Firstly, the case in one dimensional space will be considered and the global dynamical behaviors of solutions including asymptotic behavior, persistence and extinction will be studied. Secondly, we will investigate the case in higher dimensional space with or without radially symmetric assumptions. Finally we will apply our theoretical results to some mathematical models arising from biological invasions, control of Dengue fever, epidemiology and species migration so as to explore new dispersal patterns in biology and epidemiology and to find new biological phenomenon.

自由边界问题广泛出现于自然科学与工程技术的各个领域。尽管反应扩散方程的自由边界问题已经有了相对完整的理论和研究方法，但是对于带有时滞的反应扩散方程和积分差分方程自由边值问题的研究尚在起步阶段。本项目将综合应用时滞微分方程理论、积分差分方程理论、算子半群理论、单调动力系统理论以及非线性泛函分析等现代数学工具，对时滞反应扩散方程与积分差分方程的自由边界问题进行系统深入的研究，探索新的研究方法和思路、发展新的理论。首先在一维空间中，研究时滞反应扩散方程与积分差分方程的自由边界问题解的全局存在性、渐近性、持久性和灭绝性；其次，研究高维空间中径向对称时这类方程解的性质，进一步研究高维空间非径向对称情形；最后将理论结果应用于新物种入侵、登革热的控制、传染病传播以及种群迁徙等具体模型中，探索生物学和传染病学中新的扩散模式，发现新的生物学现象。

本项目在时滞反应扩散方程的自由边界问题、非局部时滞反应扩散方程的全局动力学、时间离散扩散方程的行波解理论、蚊媒传染病特别是登革热的控制以及微分方程理论在种群生态学和传染病动力学等五个方面进行了系统和广泛的研究。得到一系列新的研究成果，发展了新的研究方法。本项目完成科研论文33篇，其中32篇已正式发表，1篇在审稿阶段。已经发表的论文中有20篇被SCI收录。培养毕业博士生4人，毕业硕士生5人，圆满完成了预期计划的研究目标和研究内容。..具体地说，研究了一类具有时滞和自由边界的非单调增长反应扩散方程的全局动力学和渐近传播速度。给出合适的初值相容条件，建立了全局解的适定性，并给出了扩散和消失的充分条件。结果表明：时滞会减慢渐近传播速度；研究了在一类一维环境中具有Leslie-Gower功能反应的捕食-被食者模型的自由边界问题。给出捕食被捕食种群入侵成功和失败的二择一性质以及种群入侵成功及失败的充分条件。如果入侵成功，给出相应的入侵速度的估计；考虑到生物种群的生存区域总是有限的，我们考虑了有限区域上捕食者作为入侵种群的自由边界问题。证明了初始入侵的捕食者占据的区域足够大，种群的数量足够多则捕食者能够入侵成功，反过来如果入侵的初始区域太小或者初始入侵的种群数量太少则入侵失败；我们应用一个反应扩散方程模型自由边界问题，模拟携带Wolbachia氏菌的蚊群在给定区域蔓延的情形。通过对该自由边界问题的讨论得出Wolbachia病毒能否成功感染野外蚊群的条件；此外，我们也研究了具复发的SIRI传染病反应扩散模型的自由边界问题。..以具有年龄结构的单个物种在无界区域上的生长模型为原型，推导了一个时间离散空间连续的时滞反应扩散方程模型。在增长函数满足单调或非单调条件下，我们分别得到了该方程的行波解的存在性。研究表明：具有时滞的时间离散非局部反应扩散方程至少在行波解存在的意义上与时间连续反应扩散方程的动力学行为具有一致性。.