混合随机系统的动力学行为

连续马科夫链驱动的混合随机系统在工业、自动化控制、生态等很多领域中都有广泛的应用。本项目致力于对混合随机系统及其相应的泛函微分方程动力学行为的研究。首先将从研究马科夫链平稳分布与混合随机系统稳定性之间的必然联系出发，研究混合随机系统常值解的矩稳定和几乎必然稳定等稳定性理论。由于LaSalle定理是研究稳定性以及吸引集的强有力工具，为此将发展混合随机系统的LaSalle理论；其次，研究混合随机系统依分布稳定性，这更能说明本质的随机干扰对系统稳定性的影响；然后，寻找适合的数值方法再现混合随机系统的稳定性，为数值模拟系统的稳定性提供有力的理论依据；最后，应用得到的混合随机系统理论到具体的混合随机系统上，研究相应的动力学行为，并在应用理论的同时，完善和发展得到的理论。

受Markov链驱动的混合随机微分方程动力学行为既包含状态的连续变化，也包含状态的离散变化，因此对于既遭受到来自于系统内部结构随机变化和外界环境随机干扰的系统，利用混合随机微分方程建模更加合理。混合随机微分方程在自动化控制、生态、工业等领域中具有广泛应用。本项目研究了一般的混合随机微分方程稳定性理论，包括：几乎必然稳定性、随机稳定性以及平稳分布存在性等方面，给出了更加适用于非自治系统的随机LaSalle原理，改善了原有的理论结果，在随机平面系统方面尝试着给出了平稳分布存在性的一般性定理；研究了混合非线性种群模型的动力学性质，采用Fredholm抉择定理，给出了依赖于系统系数关于Markov链平稳分布加权平均的充分条件，既保证混合随机种群模型的随机持久性也保证了平稳分布的存在性，改善了前人已有的结论。无论是对混合随机系统一般稳定性理论的研究还是对具体混合随机模型动力学性质的分析，均揭示了来自于白噪声和Markov链两部分的随机扰动对系统产生的影响，为混合随机系统的稳定性控制和预测提供了基本的理论依据。