自守L函数矩的估计问题

In this project, we focus on moments of automorphic L-functions and study the distribution of values of automorphic L-functions at critical points. The methods and results here can be used in the study of simple zeros, zero density and Linnik's problem. The project consists of the following four problems..1) Unconditional lower bound for integral moments of automorphic L-functions along the critical line..2) Asymptotic formula for the twisted moment of symmetric square L-functions..3) Moments of automorphic L-functions on GL(3) at s=1..4) Simple zeros and zero density theorems for automorphic L-functions..This project will provide important methods and results for other kinds of L-functions.

此项目拟通过研究自守L函数的矩来探讨其在关键点处的值的分布情况。对其中的方法和结果寻求在单零点，零点密度及Linnik问题上的应用。本项目实施过程中，我们主要研究以下四个问题：.（1）自守L函数中间线上积分均值的无条件下界问题；.（2）对称平方自守L函数中线上twisted离散矩渐近式问题；.（3）GL(3)上自守L函数在s=1处的离散均值问题；.（4）以上课题的结果和方法在自守L函数单零点问题，以及零点密度问题中的应用。.本项目中的预期结果将对其他L函数的研究提供重要的方法和理论依据。

项目主要对两个部分进行了研究和分析：.1. 近些年，高阶自守函数渐渐成为研究的热门方向。很多研究都是在GL(2)的研究基础上，向上推广至高阶情况。在此背景下，我们研究了小区间上GL(3)上的自守形式的Elliot-Montgomery-Vaughan形的大筛不等式。推广了该问题在GL(2)上的结果。GL(3)上的另外一个热门问题是Hecke特征的变号问题，在GL(2)上该问题已经有了很多的结果。我们可以将我们的大筛不等式应用到该问题中，并对于其Hecke特征的变号问题给出了一个数值结果。.2. 关于二型埃及分式均值的估计。不同于高阶型埃及分式，二型埃分式并不一定有相应的表示，所以我们关注与其平均表示个数问题。该问题在某些方面已经有了一些研究，但我们关注于参数的选取不同时所得到的结果会有所不同。在此情形下，我们研究了二型埃及分式表法个数均值的估计，在某些参数的选取情况下，得到了最优的余项（无条件下和黎曼猜想下均有结果）。同时，我们给出了小区间上的表法个数的逼近式。另外一个方面，为了研究平均表法个数的余项大小，我们考虑了余项的二次均值情况，在黎曼假设下，我们给出了余项二次均值的逼近方程。该项目完善和推进了该问题的研究。