关于抛物方程Landis-Oleinik猜想的研究

In 1974, Landis and Oleinik proposed the following conjecture: if a bounded solution of a parabolic equation decays fast at a time, then the solution must vanish identically before that time, provided the coefficients of the equation satisfy appropriate conditions at infinity.. This conjecture is one of the most fundamental and important problems in the theory of unique continuation of parabolic equations, and the backward uniqueness problem for parabolic equations could also be viewed as a particular case of the conjecture. This conjecture also has a elliptic version, the Landis conjecture, which interests many people. The complex case of Landis conjecture is solved, while the real case remains open.. This project is devoted to prove the Landis-Oleinik conjecture in the general case. Firstly, the original conjecture only considers the equations with time-independent coefficients in the total space, while we consider the equations with space-time dependent coefficients, and we hope to answer the conjecture in the total space, the exterior domain and the half space respectively. We predict that the requirements of the coefficients are probably different in these three different domains. Secondly, we hope to prove the conjecture under optimal conditions of the coefficients. Lastly, the original conjecture is only a kind of qualitative prediction, but we want to give both qualitative and quantitative results for the conjecture.

在1974年，Landis和Oleinik提出如下猜想：如果一个抛物方程的有界解在某一时刻快速衰减，那么只要假定方程的系数在无穷远处满足合适的条件，则这个解在此时刻之前一定恒为零。. 此猜想是抛物方程的唯一连续延拓理论中最基本、最重要的问题之一，且抛物方程的反向唯一性问题可视为此猜想的特殊情形。此猜想也有一个椭圆版本，即引起广泛兴趣的Landis猜想。复情形的Landis猜想已被解决，但实情形的仍未解决。. 本项目旨在证明一般情形的Landis-Oleinik猜想。首先，原猜想只针对系数不依赖于时间的方程在全空间的情形，我们则考虑系数是时空依赖的方程，并且希望在全空间、外区域和半空间分别对该猜想做出回答。我们预测这三种不同区域对系数的要求极可能是不一样的。其次，我们希望在最佳系数条件下证明该猜想。最后，原猜想只是一种定性猜测，我们希望对其做出定性、定量两方面的结果。

本项目旨在证明一般情形的Landis-Oleinik猜想。此猜想由Landis和Oleinik在1974年提出，即：如果一个抛物方程的有界解在某一时刻快速衰减，那么只要假定方程的系数在无穷远处满足合适的条件，则这个解在此时刻之前一定恒为零。此猜想是抛物方程的唯一连续延拓理论中一个基本且重要的问题，且抛物方程的反向唯一性问题可视为此猜想的特殊情形；而抛物方程的唯一连续延拓与反向唯一性是研究Navier-Stokes方程解的正则性这一公开问题的重要工具。. 原猜想只针对系数不依赖于时间的方程在全空间的情形，我们则考虑系数是时空依赖的方程，并且希望在全空间、外区域和半空间分别对该猜想做出回答。我们预测这三种不同区域对系数的要求很可能是不一样的。同时，原猜想只是一种定性猜测，我们希望对其做出定性、定量两方面的结果。. 我们取得的主要结果如下。对于外区域，我们利用卡尔曼估计方法在合理的条件下证明了该猜想，结果发表在《Advances in Mathematics》上。对于半空间，我们取得了类似的结果。这些结果都包含一些定性和定量的结论。对于全空间，我们在一种重要的特殊情形下证明了该猜想，即证明了抛物方程在全空间上的反向唯一性，这与半空间上的反向唯一性完全不同。实际上，我们发现系数梯度的衰减速度与解的指数增长速度满足一种关系式。这就部分印证了我们之前的预测：不同的区域对系数的要求是不一样的。该项结果在一些层面推广了Lions和Malgrange在上世纪60年代的一个经典结果，并发表在《Calc. Var. Partial Differential Equations》上。